Cho các số dương a, b, c, d thỏa mãn điều kiện a^2 +c^2 =1 và (a^4/b)+(c ^4/d)=1/(b+d) Chứng minh rằng (a^2014/b^1007)+(c^2014/d^1007)=2/(b+d)^1007

0 bình luận về “Cho các số dương a, b, c, d thỏa mãn điều kiện a^2 +c^2 =1 và (a^4/b)+(c ^4/d)=1/(b+d) Chứng minh rằng (a^2014/b^1007)+(c^2014/d^1007)=2/(b+d)^1007”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   $ a² + c² = 1 $

   $ ⇒ \frac{a^{4}}{b} + \frac{c^{4}}{d} = \frac{1}{b + d} = \frac{a² + c²}{b + d} = \frac{a²}{b + d} + \frac{c²}{b + d}$

   $ ⇔ \frac{a^{4}}{b} – \frac{a²}{b + d} – \frac{c²}{b + d} + \frac{c^{4}}{d} = 0$

   $ ⇔ \frac{a²}{b}(a² – \frac{b}{b + d}) – \frac{c²}{d}(\frac{d}{b + d} – c²) = 0$

   $ ⇔ \frac{a²}{b}.\frac{a²b + a²d – b}{b + d} – \frac{c²}{d}.\frac{d – c²b – c²d}{b + d} = 0$

   $ ⇔ \frac{a²}{b}.\frac{a²d – b(1 – a²)}{b + d} – \frac{c²}{d}.\frac{d(1 – c²) – c²b}{b + d} = 0$

   $ ⇔ \frac{a²}{b}.\frac{a²d – c²b}{b + d} – \frac{c²}{d}.\frac{a²d – c²b}{b + d} = 0$

   $ ⇔ \frac{a²d – c²b}{b + d}(\frac{a²}{b} – \frac{c²}{d}) = 0 ⇔ \frac{(a²d – c²b)²}{bd(b + d)} = 0$

   $ ⇔ a²d – c²b = 0 ⇔ \frac{a²}{b} = \frac{c²}{d} = \frac{a² + c²}{b + d} = \frac{1}{b + d}$

   $ ⇒ \frac{a^{2014}}{b^{1007}} + \frac{c^{2014}}{d^{1007}} = (\frac{a²}{b})^{1007} + (\frac{c²}{d})^{1007}$

   $ = (\frac{1}{b + d})^{1007} + (\frac{1}{b + d})^{1007} = \frac{2}{(b + d)^{1007}} (đpcm)$

    

   Bình luận