Toán cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1 CM ab+bc+ca<=1/3 15/11/2021 By Kylie cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1 CM ab+bc+ca<=1/3
Đáp án: BĐT phụ `ab + bc + ca <= (a + b + c)^2/3` thật vậy `<=> 3(ab + bc + ca) ≤ (a + b + c)^2` `<=> a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) – 3(ab + bc + ca) ≥ 0` `<=> a^2 + b^2 + c^2 – ab – bc – ca ≥ 0` `<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 – 2ab – 2bc – 2ca ≥ 0` `<=> (a – b)^2 + (b – c)^2 + (c – a)^2 ≥ 0` (luôn đúng) Dấu “=” xảy ra `<=> a = b = c` Áp dụng ta được `ab + bc + ca ≤ (a + b + c)^2/3 = 1^2/3 = 1/3` Dấu “=” xảy ra `<=> a = b = c = 1/3` Giải thích các bước giải: Trả lời
Đáp án+Giải thích các bước giải: `(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0` `->a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2>=0` `->2(a^2+b^2+c^2)>=2(ab+bc+ca)` `->a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca` `->3(ab+bc+ca)<=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca` `->3(ab+bc+ca)<=(a+b+c)^2=1` `->ab+bc+ca<=1/3(ĐPCM)` Dấu = xảy ra khi `a=b=c=1/3` Trả lời
Đáp án:
BĐT phụ `ab + bc + ca <= (a + b + c)^2/3`
thật vậy
`<=> 3(ab + bc + ca) ≤ (a + b + c)^2`
`<=> a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) – 3(ab + bc + ca) ≥ 0`
`<=> a^2 + b^2 + c^2 – ab – bc – ca ≥ 0`
`<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 – 2ab – 2bc – 2ca ≥ 0`
`<=> (a – b)^2 + (b – c)^2 + (c – a)^2 ≥ 0` (luôn đúng)
Dấu “=” xảy ra `<=> a = b = c`
Áp dụng ta được
`ab + bc + ca ≤ (a + b + c)^2/3 = 1^2/3 = 1/3`
Dấu “=” xảy ra `<=> a = b = c = 1/3`
Giải thích các bước giải:
Đáp án+Giải thích các bước giải:
`(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0`
`->a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2>=0`
`->2(a^2+b^2+c^2)>=2(ab+bc+ca)`
`->a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca`
`->3(ab+bc+ca)<=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca`
`->3(ab+bc+ca)<=(a+b+c)^2=1`
`->ab+bc+ca<=1/3(ĐPCM)`
Dấu = xảy ra khi `a=b=c=1/3`