Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=4 , cm: (a+b)(b+c)(c+a) > a^3 b^3 c^3

0 bình luận về “Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=4 , cm: (a+b)(b+c)(c+a) > a^3 b^3 c^3”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Áp dụng BDT Cô si cho 3 số dương $:a; b ; c$

   $\frac{a + b + c}{3} ≥ \sqrt[3]{abc} ⇔ (\frac{a + b + c}{3})³ ≥ abc ⇔ (\frac{4}{3})³ ≥abc (1) $ 

   Áp dụng BDT Cô si cho 3 số dương $:a + b; b + c;c + a$

   $\frac{(a + b) + (b + c) + (c + a)}{3} ≥ \sqrt[3]{(a + b)(b + c)(c + a)} $ 

   $⇔ [\frac{2(a + b + c)}{3}]³ ≥ (a + b)(b + c)(c + a)$

   $⇔ (\frac{8}{3})³≥ (a + b)(b + c)(c + a) (2)$

   $(1).(2) :  (\frac{32}{9})³ ≥ abc(a + b)(b + c)(c + a)$

   $⇒ 64 = 4³ = (\frac{36}{9})³ > (\frac{32}{9})³ ≥ abc(a + b)(b + c)(c + a) (3)$

   Mặt khác :

   $ (a + b)² ≥ 4ab ⇔ a + b ≥\frac{4ab}{a + b} (4)$ 

   $ (b + c)² ≥ 4bc ⇔ b + c ≥\frac{4bc}{b + c} (5)$ 

   $ (c + a)² ≥ 4ca ⇔ c + a ≥\frac{4ca}{c + a} (6)$ 

   $(3).(4).(5)$ và từ $(3):$

   $ ⇒ (a + b)(b + c)(c + a) ≥ \frac{64a²b²c²}{(a + b)(b + c)(c + a)} > a³b³c³ (đpcm)$

   Trả lời