cho các số dương a,b thỏa `a+b=1` tìm gtnn `a^2+b^2+1/(a^2)+1/(b^2)`

Đáp án:

 `Min={17}/2` khi `a=b=1/ 2`

Giải thích các bước giải:

Với mọi `a;b>0` ta có:

`\qquad (a-b)^2\ge 0`

`<=>a^2+b^2\ge 2ab`

`<=>a^2+2ab+b^2\ge 4ab`

`<=>(a+b)^2\ge 4ab`

`<=>1^2\ge 4ab` (do `a+b=1`)

`<=>ab\le 1/ 4`

`<=>1/{ab}\ge 4`

`<=>1/{(ab)^2}\ge 16`

$\\$

Vì ` a^2+b^2\ge 2ab`

`<=>a^2+b^2+a^2+b^2\ge a^2+b^2+2ab`

`<=>2(a^2+b^2)\ge (a+b)^2=1^2=1`

`<=>a^2+b^2\ge 1/ 2`

$\\$

`\qquad (1/a-1/b)^2\ge 0`

`<=> 1/{a^2}+1/{b^2}\ge 2. 1/a. 1/b`

`<=>1/{a^2}+1/{b^2}+1/{a^2}+1/{b^2}\ge 1/{a^2}+1/{b^2}+2. 1/a . 1/b`

`<=>2(1/{a^2}+1/{b^2})\ge (1/ a+1/b)^2=(a+b)^2/{(ab)^2}`

`<=>1/{a^2}+1/{b^2}\ge 1/{2(ab)^2}` (do `a+b=1`)

`<=>1/{a^2}+1/{b^2}\ge 1/ 2 . 16=8`

$\\$

`=>a^2+b^2+1/{a^2}+1/{b^2}\ge 1/ 2 +8={17}/2`

Dấu “=” xảy ra khi `a=b=1/ 2`

Vậy $GTNN$ của `a^2+b^2+1/{a^2}+1/{b^2}` bằng `{17}/2` khi `a=b=1/ 2`