cho các số dương x,y,z thỏa mãn: x$\sqrt[]{1-y^2}$ + y$\sqrt[]{1-z^2}$ + z$\sqrt[]{1-x^2}$ = $\frac{3}{2}$ Tính giá trị biểu thức A = x ² + y ² + z

0 bình luận về “cho các số dương x,y,z thỏa mãn: x$\sqrt[]{1-y^2}$ + y$\sqrt[]{1-z^2}$ + z$\sqrt[]{1-x^2}$ = $\frac{3}{2}$ Tính giá trị biểu thức A = x ² + y ² + z”

1. Đáp án:

   $A = \dfrac{3}{2}$

   Giải thích các bước giải:

   ĐK: $0<x,y,z\le 1$

   Ta có:

   $\begin{array}{l}
   x\sqrt {1 – {y^2}}  + y\sqrt {1 – {z^2}}  + z\sqrt {1 – {x^2}}  = \dfrac{3}{2}\\
    \Leftrightarrow 3 – 2\left( {x\sqrt {1 – {y^2}}  + y\sqrt {1 – {z^2}}  + z\sqrt {1 – {x^2}} } \right) = 0\\
    \Leftrightarrow 3 – 2x\sqrt {1 – {y^2}}  – 2y\sqrt {1 – {z^2}}  – 2z\sqrt {1 – {x^2}}  = 0\\
    \Leftrightarrow \left( {{x^2} – 2x\sqrt {1 – {y^2}}  + 1 – {y^2}} \right) + \left( {{y^2} – 2y\sqrt {1 – {z^2}}  + 1 – {z^2}} \right) + \left( {{z^2} – 2z\sqrt {1 – {x^2}}  + 1 – {x^2}} \right) = 0\\
    \Leftrightarrow {\left( {x – \sqrt {1 – {y^2}} } \right)^2} + {\left( {y – \sqrt {1 – {z^2}} } \right)^2} + {\left( {z – \sqrt {1 – {x^2}} } \right)^2} = 0\\
    \Leftrightarrow x – \sqrt {1 – {y^2}}  = y – \sqrt {1 – {z^2}}  = z – \sqrt {1 – {x^2}}  = 0\\
   \left( {do:{{\left( {x – \sqrt {1 – {y^2}} } \right)}^2} + {{\left( {y – \sqrt {1 – {z^2}} } \right)}^2} + {{\left( {z – \sqrt {1 – {x^2}} } \right)}^2} \ge 0,\forall x,y,z} \right)\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   x = \sqrt {1 – {y^2}} \\
   y = \sqrt {1 – {z^2}} \\
   z = \sqrt {1 – {x^2}} 
   \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   {x^2} = 1 – {y^2}\\
   {y^2} = 1 – {z^2}\\
   {z^2} = 1 – {x^2}
   \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   {x^2} + {y^2} = 1\\
   {y^2} + {z^2} = 1\\
   {x^2} + {z^2} = 1
   \end{array} \right.\\
    \Rightarrow \left( {{x^2} + {y^2}} \right) + \left( {{y^2} + {z^2}} \right) + \left( {{x^2} + {z^2}} \right) = 3\\
    \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} = \dfrac{3}{2}
   \end{array}$

   Vậy $A = \dfrac{3}{2}$ 

   Trả lời