Cho các số hữu tỉ a/b và c/d với mẫu dương, trong đó a/b < c/d. Chứng minh rằng : a) ad < bc b) a/b < a+c/b+d < c/d
Cho các số hữu tỉ a/b và c/d với mẫu dương, trong đó a/b < c/d. Chứng minh rằng : a) ad < bc b) a/b < a+c/b+d < c/d
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
`a)` Ta có:
`\frac{a}{d}< \frac{b}{c}`
`⇒ \frac{a}{b}. \frac{d}{c}< \frac{c}{d}. \frac{d}{c}`
`⇒ \frac{ad}{bc}< 1`
`⇒ \frac{a}{d}< 1. bc`
`⇒ \frac{a}{d}< \frac{b}{c} (đpcm)`
`b)` Ta có: `\frac{a}{d}< \frac{b}{c}`
`⇒ \frac{a}{d}+ \frac{a}{b}< \frac{b}{c}+ \frac{a}{b}`
`⇒ a. (b+ d)< b. (a+ c)`
`⇒ \frac{a}{b}< \frac{a+ c}{b+ d} (1)`
Ta có: `\frac{a}{d}< \frac{b}{c}`
`⇒ ad+ cd< bc+ cd`
`⇒ d. (a+ c)< c. (b+ d)`
`\frac{a+ c}{b+ d}< \frac{c}{d} (2)`
Từ `(1)` và `(2)⇒ \frac{a}{b}< \frac{b}{c}+ \frac{a}{b}< \frac{c}{d} (đpcm)`
a) $\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$
$⇒\frac{ad}{bd}<\frac{bc}{bd}$
$⇒ad<bc$
b) $\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$
$⇒\frac{a+a}{b+b}<\frac{c+c}{d+d}$
$⇒\frac{a+a}{b+b}<\frac{a+b}{c+d}<\frac{c+c}{d+d}$
$⇒\frac{a}{b}<\frac{a+b}{c+d}<\frac{c}{d}$