Cho các số nguyên x,y,z thỏa mãn x^2 + y^2 + z^2 = 2xyz. CMR xyz chia hết cho 24
0 bình luận về “Cho các số nguyên x,y,z thỏa mãn x^2 + y^2 + z^2 = 2xyz. CMR xyz chia hết cho 24”
Giả sử $(x_0;y_0;z_0)$ là một nghiệm nguyên của phương trình
Do $x_{0}^2+y_{0}^2+z_{0}^2=2xyz$ là một số chẵn nên trong các số $x_0;y_0;z_0$ có một số chẵn các số lẻ.
Nếu $x_0;y_0;z_0$ đều lẻ thì $x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 \not\vdots 2$;$2xyz\vdots 2$ nên loại
Nếu $x_0;y_0;z_0$ có hai số lẻ thì không mất tính tổng quát ta giả sử $x_0;y_0$ lẻ , $z_0$ chẵn ta được $\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {x_0} = 2a + 1\\ {y_0} = 2b + 1\\ {z_0} = 2c \end{array} \right.\left( {a,b,c \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Rightarrow x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 = {\left( {2a + 1} \right)^2} + {\left( {2b + 1} \right)^2} + {\left( {2c} \right)^2}\\ = 4{a^2} + 4{b^2} + 4\left( {a + b} \right) + 2\not{ \vdots }4\\ + 2{x_0}{y_0}{z_0} \vdots 4 \end{array}$
Vậy $x_0;y_0;z_0$ đều chẵn
Đặt $x_0=2x_1;y_0=2y_1;z_0=2z_1$ ta được:
$x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 = 4{x_1}{y_1}{z_1}$. Lý luạn tương tự ta được $x_1;y_1;z_1$ là các số chẵn và $\left( {\dfrac{{{x_0}}}{{{2^k}}};\dfrac{{{y_0}}}{{{2^k}}};\dfrac{{{z_0}}}{{{2^k}}}} \right)$ là các nghiệm nguyên với mọi $k\in \mathbb{N}$. Điều đó chỉ đúng khi $x_0=y_0=z_0=0$
Giả sử $(x_0;y_0;z_0)$ là một nghiệm nguyên của phương trình
Do $x_{0}^2+y_{0}^2+z_{0}^2=2xyz$ là một số chẵn nên trong các số $x_0;y_0;z_0$ có một số chẵn các số lẻ.
Nếu $x_0;y_0;z_0$ đều lẻ thì $x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 \not\vdots 2$;$2xyz\vdots 2$ nên loại
Nếu $x_0;y_0;z_0$ có hai số lẻ thì không mất tính tổng quát ta giả sử $x_0;y_0$ lẻ , $z_0$ chẵn ta được
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {x_0} = 2a + 1\\ {y_0} = 2b + 1\\ {z_0} = 2c \end{array} \right.\left( {a,b,c \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Rightarrow x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 = {\left( {2a + 1} \right)^2} + {\left( {2b + 1} \right)^2} + {\left( {2c} \right)^2}\\ = 4{a^2} + 4{b^2} + 4\left( {a + b} \right) + 2\not{ \vdots }4\\ + 2{x_0}{y_0}{z_0} \vdots 4 \end{array}$
Vậy $x_0;y_0;z_0$ đều chẵn
Đặt $x_0=2x_1;y_0=2y_1;z_0=2z_1$ ta được:
$x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 = 4{x_1}{y_1}{z_1}$. Lý luạn tương tự ta được $x_1;y_1;z_1$ là các số chẵn và $\left( {\dfrac{{{x_0}}}{{{2^k}}};\dfrac{{{y_0}}}{{{2^k}}};\dfrac{{{z_0}}}{{{2^k}}}} \right)$ là các nghiệm nguyên với mọi $k\in \mathbb{N}$. Điều đó chỉ đúng khi $x_0=y_0=z_0=0$
Vậy $x.y.z=0.0.0\vdots 24$
giả sử x,y,z không có số nào chia hết cho 3 thì x²,y²,z² chia 3 dư 1
nên x²+y²+z² chia hết cho 3 mà 2xyz chia hết cho 3 ⇒x,y,z có 1 số chia hết cho 3 (vô lý)
vậy điều giả sử là sai hay x,y,z có 1 số chia hết cho 3
⇒xyz chia hết cho 3
giả sử x,y,z không có số nào chia hết cho 8 thì x²,y²,z² chia 1(vì nếu x²,y²,z² dư 8 thì x²,y²,z² có số chia hết cho 2)
nên x²+y²+z² chia cho 8 có dư 3, mà 2xyz chia hết cho 2
vậy điều giả sử là sai hay x,y,z có 1 số chia hết cho 3
⇒xyz chia hết cho 8
Suy ra xyz chia hết cho 24 do(3,8)=1
mình đánh máy nên trình bày không tốt mong bạn thông cảm và xin hay nhất