cho các số thực x>1 và y>0 thoả mãn log(2x+3y)/xy+1=xy-2x-3y+1 giá trị lớn nhất 5x+y=? 16/09/2021 Bởi Everleigh cho các số thực x>1 và y>0 thoả mãn log(2x+3y)/xy+1=xy-2x-3y+1 giá trị lớn nhất 5x+y=?
Đáp án: $\begin{array}{l}\log \dfrac{{2x + 3y}}{{xy + 1}} = xy – 2x – 3y + 1\\ \Rightarrow \log \left( {2x + 3y} \right) – \log \left( {xy + 1} \right)\\ = xy + 1 – \left( {2x + 3y} \right)\\ \Rightarrow \log \left( {2x + 3y} \right) + \left( {2x + 3y} \right) = \log \left( {xy + 1} \right) + xy + 1\\Xet:f\left( t \right) = \log t + t\\ \Rightarrow f’\left( t \right) = \dfrac{1}{{\ln 10}} + 1 > 0\\ \Rightarrow f\left( {2x + 3y} \right) = f\left( {xy + 1} \right)\\ \Rightarrow 2x + 3y = xy + 1\\ \Rightarrow x.\left( {y – 2} \right) = 3y – 1\\ \Rightarrow x = \dfrac{{3y – 1}}{{y – 2}}\\ \Rightarrow A = 5x + y\\ = 5.\dfrac{{3y – 1}}{{y – 2}} + y\\ = \dfrac{{13y – 5 + {y^2}}}{{y – 2}}\\ \Rightarrow A.y – 2A = {y^2} + 13y – 5\\ \Rightarrow {y^2} + \left( {13 – A} \right).y + 2A – 5 = 0\\ \Rightarrow \Delta \ge 0\\ \Rightarrow {\left( {A – 13} \right)^2} – 4.\left( {2A – 5} \right) \ge 0\\ \Rightarrow {A^2} – 26A + 169 – 8A + 20 \ge 0\\ \Rightarrow {A^2} – 34A + 189 \ge 0\\ \Rightarrow \left( {A – 7} \right)\left( {A – 27} \right) \ge 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}A \ge 27\\A \le 7\end{array} \right.\end{array}$ => 5x+y là hàm số đồng biến khi x>1; y>0 => ko xác định được GTLN. Bình luận
$\begin{array}{l}\log \dfrac{{2x + 3y}}{{xy + 1}} = xy – 2x – 3y + 1\\ \Rightarrow \log \left( {2x + 3y} \right) – \log \left( {xy + 1} \right)\\ = xy + 1 – \left( {2x + 3y} \right)\\ \Rightarrow \log \left( {2x + 3y} \right) + \left( {2x + 3y} \right) = \log \left( {xy + 1} \right) + xy + 1\\Xet:f\left( t \right) = \log t + t\\ \Rightarrow f’\left( t \right) = \dfrac{1}{{\ln 10}} + 1 > 0\\ \Rightarrow f\left( {2x + 3y} \right) = f\left( {xy + 1} \right)\\ \Rightarrow 2x + 3y = xy + 1\\ \Rightarrow x.\left( {y – 2} \right) = 3y – 1\\ \Rightarrow x = \dfrac{{3y – 1}}{{y – 2}}\\ \Rightarrow A = 5x + y\\ = 5.\dfrac{{3y – 1}}{{y – 2}} + y\\ = \dfrac{{13y – 5 + {y^2}}}{{y – 2}}\\ \Rightarrow A.y – 2A = {y^2} + 13y – 5\\ \Rightarrow {y^2} + \left( {13 – A} \right).y + 2A – 5 = 0\\ \Rightarrow \Delta \ge 0\\ \Rightarrow {\left( {A – 13} \right)^2} – 4.\left( {2A – 5} \right) \ge 0\\ \Rightarrow {A^2} – 26A + 169 – 8A + 20 \ge 0\\ \Rightarrow {A^2} – 34A + 189 \ge 0\\ \Rightarrow \left( {A – 7} \right)\left( {A – 27} \right) \ge 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}A \ge 27\\A \le 7\end{array} \right.\end{array}$ => 5x+y là hàm số đồng biến khi x>1; y>0 => ko xác định được GTLN. Bình luận
Đáp án:
$\begin{array}{l}
\log \dfrac{{2x + 3y}}{{xy + 1}} = xy – 2x – 3y + 1\\
\Rightarrow \log \left( {2x + 3y} \right) – \log \left( {xy + 1} \right)\\
= xy + 1 – \left( {2x + 3y} \right)\\
\Rightarrow \log \left( {2x + 3y} \right) + \left( {2x + 3y} \right) = \log \left( {xy + 1} \right) + xy + 1\\
Xet:f\left( t \right) = \log t + t\\
\Rightarrow f’\left( t \right) = \dfrac{1}{{\ln 10}} + 1 > 0\\
\Rightarrow f\left( {2x + 3y} \right) = f\left( {xy + 1} \right)\\
\Rightarrow 2x + 3y = xy + 1\\
\Rightarrow x.\left( {y – 2} \right) = 3y – 1\\
\Rightarrow x = \dfrac{{3y – 1}}{{y – 2}}\\
\Rightarrow A = 5x + y\\
= 5.\dfrac{{3y – 1}}{{y – 2}} + y\\
= \dfrac{{13y – 5 + {y^2}}}{{y – 2}}\\
\Rightarrow A.y – 2A = {y^2} + 13y – 5\\
\Rightarrow {y^2} + \left( {13 – A} \right).y + 2A – 5 = 0\\
\Rightarrow \Delta \ge 0\\
\Rightarrow {\left( {A – 13} \right)^2} – 4.\left( {2A – 5} \right) \ge 0\\
\Rightarrow {A^2} – 26A + 169 – 8A + 20 \ge 0\\
\Rightarrow {A^2} – 34A + 189 \ge 0\\
\Rightarrow \left( {A – 7} \right)\left( {A – 27} \right) \ge 0\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
A \ge 27\\
A \le 7
\end{array} \right.
\end{array}$
=> 5x+y là hàm số đồng biến khi x>1; y>0
=> ko xác định được GTLN.
$\begin{array}{l}
\log \dfrac{{2x + 3y}}{{xy + 1}} = xy – 2x – 3y + 1\\
\Rightarrow \log \left( {2x + 3y} \right) – \log \left( {xy + 1} \right)\\
= xy + 1 – \left( {2x + 3y} \right)\\
\Rightarrow \log \left( {2x + 3y} \right) + \left( {2x + 3y} \right) = \log \left( {xy + 1} \right) + xy + 1\\
Xet:f\left( t \right) = \log t + t\\
\Rightarrow f’\left( t \right) = \dfrac{1}{{\ln 10}} + 1 > 0\\
\Rightarrow f\left( {2x + 3y} \right) = f\left( {xy + 1} \right)\\
\Rightarrow 2x + 3y = xy + 1\\
\Rightarrow x.\left( {y – 2} \right) = 3y – 1\\
\Rightarrow x = \dfrac{{3y – 1}}{{y – 2}}\\
\Rightarrow A = 5x + y\\
= 5.\dfrac{{3y – 1}}{{y – 2}} + y\\
= \dfrac{{13y – 5 + {y^2}}}{{y – 2}}\\
\Rightarrow A.y – 2A = {y^2} + 13y – 5\\
\Rightarrow {y^2} + \left( {13 – A} \right).y + 2A – 5 = 0\\
\Rightarrow \Delta \ge 0\\
\Rightarrow {\left( {A – 13} \right)^2} – 4.\left( {2A – 5} \right) \ge 0\\
\Rightarrow {A^2} – 26A + 169 – 8A + 20 \ge 0\\
\Rightarrow {A^2} – 34A + 189 \ge 0\\
\Rightarrow \left( {A – 7} \right)\left( {A – 27} \right) \ge 0\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
A \ge 27\\
A \le 7
\end{array} \right.
\end{array}$
=> 5x+y là hàm số đồng biến khi x>1; y>0
=> ko xác định được GTLN.