Cho các số thực a,b>0 thỏa mãn a+b=1 Tìm GTNN của $\frac{a^{2}}{b}$ + $\frac{b^{2}}{a}$

Đáp án: $P_{min}=1$ khi `a=b=\frac{1}{2}`

Giải thích các bước giải:

Trước hết chứng minh bất đẳng thức: `\frac{A^2}{B}+\frac{C^2}{D}≥\frac{(A+C)^2}{B+D}` với $A;B;C;D>0$

Ta có: `\frac{A^2}{B}+\frac{C^2}{D}≥\frac{(A+C)^2}{B+D}`

`⇔\frac{A^2D+BC^2}{BD}≥\frac{(A+C)^2}{B+D}`

$⇔(A^2D+BC^2)(B+D)≥BD(A+C)^2$

$⇔A^2BD+A^2D^2+B^2C^2+BC^2D≥BD(A^2+2AC+C^2)$

$⇔A^2BD+A^2D^2+B^2C^2+BC^2D≥A^2BD+2ABCD+BC^2D$

$⇔A^2D^2-2ABCD+B^2C^2≥0$

$⇔(AD-BC)^2≥0$ (luôn đúng)

Dấu bằng xảy ra khi `AD-BC=0⇔AD=BC⇔\frac{A}{B}=\frac{C}{D}`

Trở lại bài toán:

Đặt `P=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}`

Áp dụng bất đẳng thức vừa chứng minh, ta được:

`P=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}≥\frac{(a+b)^2}{a+b}=a+b=1`

Dấu bằng xảy ra `⇔\frac{a}{b}=\frac{b}{a}⇔a^2=b^2⇔a=b` (do $a;b>0$)

Từ $a+b=1⇔b+b=1⇔2b=1$

`⇔a=b=\frac{1}{2}`