Cho các số thực a,b>0 thỏa mãn a+b=1 Tìm GTNN của $\frac{a^{2}}{b}$ + $\frac{b^{2}}{a}$

Cho các số thực a,b>0 thỏa mãn a+b=1
Tìm GTNN của $\frac{a^{2}}{b}$ + $\frac{b^{2}}{a}$

0 bình luận về “Cho các số thực a,b>0 thỏa mãn a+b=1 Tìm GTNN của $\frac{a^{2}}{b}$ + $\frac{b^{2}}{a}$”

  1. Đáp án:

    $\min\left(\dfrac{a^2}{b} + \dfrac{b^2}{a}\right) = 1 \Leftrightarrow a = b = \dfrac{1}{2}$

    Giải thích các bước giải:

    Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy – Schwarz$ dạng $Engel$ ta được:

    $\dfrac{a^2}{b} + \dfrac{b^2}{a} \geq \dfrac{(a + b)^2}{a + b} = a + b = 1$

    Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases}\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{a}\\a + b = 1\end{cases}\Leftrightarrow a = b = \dfrac{1}{2}$

    Vậy $\min\left(\dfrac{a^2}{b} + \dfrac{b^2}{a}\right) = 1 \Leftrightarrow a = b = \dfrac{1}{2}$

    Bình luận
  2. Đáp án: $P_{min}=1$ khi `a=b=\frac{1}{2}`

     

    Giải thích các bước giải:

    Trước hết chứng minh bất đẳng thức: `\frac{A^2}{B}+\frac{C^2}{D}≥\frac{(A+C)^2}{B+D}` với $A;B;C;D>0$

    Ta có: `\frac{A^2}{B}+\frac{C^2}{D}≥\frac{(A+C)^2}{B+D}`

    `⇔\frac{A^2D+BC^2}{BD}≥\frac{(A+C)^2}{B+D}`

    $⇔(A^2D+BC^2)(B+D)≥BD(A+C)^2$

    $⇔A^2BD+A^2D^2+B^2C^2+BC^2D≥BD(A^2+2AC+C^2)$

    $⇔A^2BD+A^2D^2+B^2C^2+BC^2D≥A^2BD+2ABCD+BC^2D$

    $⇔A^2D^2-2ABCD+B^2C^2≥0$

    $⇔(AD-BC)^2≥0$ (luôn đúng)

    Dấu bằng xảy ra khi `AD-BC=0⇔AD=BC⇔\frac{A}{B}=\frac{C}{D}`

    Trở lại bài toán:

    Đặt `P=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}`

    Áp dụng bất đẳng thức vừa chứng minh, ta được:

    `P=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}≥\frac{(a+b)^2}{a+b}=a+b=1`

    Dấu bằng xảy ra `⇔\frac{a}{b}=\frac{b}{a}⇔a^2=b^2⇔a=b` (do $a;b>0$)

    Từ $a+b=1⇔b+b=1⇔2b=1$

    `⇔a=b=\frac{1}{2}`

    Bình luận

Viết một bình luận