Cho các số thực $a;b;c>0$ thỏa mãn $abc=1$. Tìm giá trị lớn nhất của $P=\dfrac{1}{\sqrt{ac+a+2}}+\dfrac{1}{\sqrt{bc+b+2}}+\dfrac{1}{\sqrt{ca+c+2}}$
Cho các số thực $a;b;c>0$ thỏa mãn $abc=1$. Tìm giá trị lớn nhất của $P=\dfrac{1}{\sqrt{ac+a+2}}+\dfrac{1}{\sqrt{bc+b+2}}+\dfrac{1}{\sqrt{ca+c+2}}$
By Kinsley
Đáp án: `P_{max}=\frac{3}{2}⇔a=b=c=1`
Giải thích các bước giải:
Trước hết, bạn chứng minh giúp mình các BĐT tổng quát sau nhé:
Với mọi $x;y;z;t$ dương, ta có:
`1)\frac{1}{x}+\frac{1}{y}≥\frac{4}{x+y}` (Gợi ý: Quy đồng mẫu)
`2)\frac{1}{16}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t})≥\frac{1}{x+y+z+t}` (Gợi ý: Dùng BĐT $1$)
`3)(x+y+z)^2≤3(x^2+y^2+z^2)` (Gợi ý: Tách hết ra)
Dấu bằng xảy ra ở cả $3$ bất đẳng thức $⇔x=y=z=t$
Trở lại bài toán:
Ta có:
`frac{1}{bc+b+2}=\frac{1}{\frac{1}{3}(bc+b+1)+\frac{1}{3}(bc+b+1)+\frac{1}{3}(bc+b+1)+1}`
`≤\frac{1}{16}(\frac{1}{\frac{1}{3}(bc+b+1)}+\frac{1}{\frac{1}{3}(bc+b+1)}+\frac{1}{\frac{1}{3}(bc+b+1)}+\frac{1}{1})` (áp dụng BĐT $2$)
`=\frac{1}{16}(\frac{3}{bc+b+1}+\frac{3}{bc+b+1}+\frac{3}{bc+b+1}+1)`
`=\frac{1}{16}(\frac{9}{bc+b+1}+1)`
Chứng minh tương tự:
`\frac{1}{ab+a+2}≤\frac{1}{16}(\frac{9}{ab+a+1}+1)`
`\frac{1}{ac+c+2}≤\frac{1}{16}(\frac{9}{ac+c+1}+1)`
Ta có: `P=\frac{1}{\sqrt{ab+a+2}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+2}}+\frac{1}{\sqrt{ac+c+2}}`
`⇒P^2=(\frac{1}{\sqrt{ab+a+2}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+2}}+\frac{1}{\sqrt{ac+c+2}})^2`
`≤3(\frac{1}{ab+a+2}+\frac{1}{bc+b+2}+\frac{1}{ac+c+2})` (áp dụng BĐT $3$)
`≤3[\frac{1}{16}(\frac{9}{ab+a+1}+1)+\frac{1}{16}(\frac{9}{bc+b+1}+1)+\frac{1}{16}(\frac{9}{ac+c+1}+1)]`
`=\frac{3}{16}(\frac{9}{ab+a+1}+1+\frac{9}{bc+b+1}+1+\frac{9}{ac+c+1}+1)`
`=\frac{3}{16}[9(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ac+c+1})+3]`
`=\frac{3}{16}[9(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{abc+ab+a}+\frac{abc}{ac+c+abc})+3]`
`=\frac{3}{16}[9(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{1+ab+a}+\frac{ab}{a+1+ab})+3]`
`=\frac{3}{16}(9.\frac{1+a+ab}{ab+a+1}+3)`
`=\frac{3}{16}(9.1+3)=\frac{9}{4}`
`⇒P≤\frac{3}{2}`
Dấu bằng xảy ra
$⇔\begin{cases}\frac{1}{\sqrt{ab+a+2}}=\frac{1}{\sqrt{bc+b+2}}=\frac{1}{\sqrt{ac+c+2}}\\\frac{1}{3}(bc+b+1)=1\\\frac{1}{3}(ab+a+1)=1\\\frac{1}{3}(ac+c+1)=1\\abc=1\end{cases}⇔a=b=c=1$