cho các số thực dương a,b,c,d thỏa mãn: abc + bcd + cda +dab =1.Tìm GTNN của: $P = 4(a^3+b^3+c^3)+ 9d^3$ 24/10/2021 Bởi Skylar cho các số thực dương a,b,c,d thỏa mãn: abc + bcd + cda +dab =1.Tìm GTNN của: $P = 4(a^3+b^3+c^3)+ 9d^3$
Đáp án: Giải thích các bước giải: Đầu tiên ta chứng minh bất đẳng thức sau $\forall x,y,z \ge0$ ta có: $x^3+y^3+z^3 \ge 3xyz(1) \Leftrightarrow \frac{1}{2}(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2] \ge 0$( hiển nhiên đúng) Do vai trò của $a,b,c$ như nhau nên giả sử $a=b=c=kd (k>0)$ Khi đó áp dụng $(1)$ ta được: $\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{k^2}(a^3+b^3+c^3)\geq \dfrac{3abc}{k^2} & & & & \\ d^3+\dfrac{a^3}{k^3}+\frac{b^3}{k^3}\geq 3\dfrac{abd}{k^2}& & & & \\ d^3+\dfrac{b^3}{k^3}+\dfrac{c^3}{k^3}\geq 3\dfrac{bcd}{k^2}& & & & \\ d^3+\dfrac{a^3}{k^3}+\dfrac{c^3}{k^3}\geq \dfrac{3acd}{k^2} & & & & \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow 3d^3+(\dfrac{2}{k^3}+\dfrac{1}{k^2})(a^3+b^3+c^3)\geq \dfrac{3}{k^2}(abc+bcd+cad+dab)$ $\Rightarrow 9d^3+3(\dfrac{2}{k^3}+\dfrac{1}{k^2})(a^3+b^3+c^3)\geq \dfrac{9}{k^2}$ Bây giờ ta tìm $k$ thỏa $3(\frac{2}{k^3}+\frac{1}{k^2})=4\Leftrightarrow 4k^3-3k-6=0$ (đồng nhất hệ số) Đặt $k=\frac{1}{2}(a+\frac{1}{a})\Rightarrow \frac{1}{2}(a+\frac{1}{a})^3-\frac{3}{2}(a+\frac{1}{a})=6\Leftrightarrow a^6-12a^3+1=0\Leftrightarrow a=\sqrt[3]{6\pm 35}\Rightarrow k=\frac{1}{2}(\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}})$ Vậy giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{9}{k^2}=\frac{36}{(\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}})^2}$ Bình luận
Dự đoán dấu bằng xảy ra khi $a=x, b=y, c=z$ với $x, y, z>0$ và $x^2+2y^2+3z^2=1$ Ta có: $a^3+a^3+x^3\geq3a^2x,b^3+b^3+y^3\geq3b^2y,c^3+c^3+z^3\geq3c^2z $ $⇒2a^3$$\geq3a^2x-x^3$ $b^3+b^3+y^3\geq3b^2y ⇔3b^2\geq\frac{9}{2}yb^2-\frac{3}{2}y^3,c^3+c^3+z^3\geq3c^2z⇔2c^3\geq3c^2z-z^3$ $⇒4c^3\geq2(3c^2z-z^3).$ Cộng 3 BĐT cùng chiều ,suy ra: $P\geq3(xa^2+\frac{3}{2}yb^2+2zc^2)-x^3-\frac{3}{2}y^3-2z^3.$Ta cần chọn $x, y, z$ để: $x:\frac{2}{3}y:2z=1:2:3$ và $x^2+2y^2+3z^2=1$ ADTC dãy tỉ số bằng nhau, ta được: $x=\frac{6}{\sqrt{407}},y=\frac{8}{\sqrt{407}},z=\frac{9}{\sqrt{407}}$ Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Đầu tiên ta chứng minh bất đẳng thức sau $\forall x,y,z \ge0$ ta có:
$x^3+y^3+z^3 \ge 3xyz(1) \Leftrightarrow \frac{1}{2}(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2] \ge 0$( hiển nhiên đúng)
Do vai trò của $a,b,c$ như nhau nên giả sử $a=b=c=kd (k>0)$
Khi đó áp dụng $(1)$ ta được: $\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{k^2}(a^3+b^3+c^3)\geq \dfrac{3abc}{k^2} & & & & \\ d^3+\dfrac{a^3}{k^3}+\frac{b^3}{k^3}\geq 3\dfrac{abd}{k^2}& & & & \\ d^3+\dfrac{b^3}{k^3}+\dfrac{c^3}{k^3}\geq 3\dfrac{bcd}{k^2}& & & & \\ d^3+\dfrac{a^3}{k^3}+\dfrac{c^3}{k^3}\geq \dfrac{3acd}{k^2} & & & & \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow 3d^3+(\dfrac{2}{k^3}+\dfrac{1}{k^2})(a^3+b^3+c^3)\geq \dfrac{3}{k^2}(abc+bcd+cad+dab)$ $\Rightarrow 9d^3+3(\dfrac{2}{k^3}+\dfrac{1}{k^2})(a^3+b^3+c^3)\geq \dfrac{9}{k^2}$
Bây giờ ta tìm $k$ thỏa $3(\frac{2}{k^3}+\frac{1}{k^2})=4\Leftrightarrow 4k^3-3k-6=0$ (đồng nhất hệ số)
Đặt $k=\frac{1}{2}(a+\frac{1}{a})\Rightarrow \frac{1}{2}(a+\frac{1}{a})^3-\frac{3}{2}(a+\frac{1}{a})=6\Leftrightarrow a^6-12a^3+1=0\Leftrightarrow a=\sqrt[3]{6\pm 35}\Rightarrow k=\frac{1}{2}(\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}})$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{9}{k^2}=\frac{36}{(\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}})^2}$
Dự đoán dấu bằng xảy ra khi $a=x, b=y, c=z$ với $x, y, z>0$ và $x^2+2y^2+3z^2=1$
Ta có: $a^3+a^3+x^3\geq3a^2x,b^3+b^3+y^3\geq3b^2y,c^3+c^3+z^3\geq3c^2z $
$⇒2a^3$$\geq3a^2x-x^3$
$b^3+b^3+y^3\geq3b^2y ⇔3b^2\geq\frac{9}{2}yb^2-\frac{3}{2}y^3,c^3+c^3+z^3\geq3c^2z⇔2c^3\geq3c^2z-z^3$
$⇒4c^3\geq2(3c^2z-z^3).$ Cộng 3 BĐT cùng chiều ,suy ra:
$P\geq3(xa^2+\frac{3}{2}yb^2+2zc^2)-x^3-\frac{3}{2}y^3-2z^3.$Ta cần chọn $x, y, z$ để: $x:\frac{2}{3}y:2z=1:2:3$ và $x^2+2y^2+3z^2=1$
ADTC dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
$x=\frac{6}{\sqrt{407}},y=\frac{8}{\sqrt{407}},z=\frac{9}{\sqrt{407}}$