cho các số thực dương a,b,c thỏa a+b+c <= 3/2 Tìm Min P: a^2/b + b^2/a + c^2/a + a/b^2 +b/c^2 + c/a^2
cho các số thực dương a,b,c thỏa a+b+c <= 3/2 Tìm Min P: a^2/b + b^2/a + c^2/a + a/b^2 +b/c^2 + c/a^2
By Eliza
By Eliza
cho các số thực dương a,b,c thỏa a+b+c <= 3/2 Tìm Min P: a^2/b + b^2/a + c^2/a + a/b^2 +b/c^2 + c/a^2
ta có :
`(a+b+c)^3≥27abc`
`⇔1/(12)≥abc`
mặt khác :
`(a+b+c)^3≥27abc`
`⇒a+b+c≥3abc`
`⇒(a+b+c)/3≥abc`
sửa tí đề
`P=a^2/b + b^2/c + c^2/a + a/b^2 +b/c^2 + c/a^2≥3\root{3}{a^2/b . b^2/c . c^2/a }+3\root{3}{ a/b^2 . b/c^2 . c/a^2}`
`⇔P≥3(\root{3}{abc}+1/\root{3}{abc})`
`⇔P≥3(\root{3}{abc}+1/4\root{3}{abc}+3/4\root{3}{abc})`
`⇔P≥3(2×1/2 +3/4 .1/((a+b+c)/3`
`⇒P≥3(1+3/2)=15/2`
`”=”`xẩy ra khi :
`a=b=c=1/2`
Đáp án:
Áp dụng `AM-GM` có
`P >= 3`$\sqrt[3]{\dfrac{a^2}{b} . \dfrac{b^2}{c} . \dfrac{c^2}{a}}$ + `3`$\sqrt[3]{\dfrac{a}{b^2} . \dfrac{b}{c^2} . \dfrac{c}{a^2}}$
`= 3(`$\sqrt[3]{abc} + \dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}} )$
`= 3(`$\sqrt[3]{abc} + \dfrac{1}{4\sqrt[3]{abc}} + \dfrac{3}{4\sqrt[3]{abc}})$
$≥ 3(2\sqrt{\sqrt[3]{abc} . \dfrac{1}{4\sqrt[3]{abc}}}$ `+ 3/(4 . (a + b + c)/3) ) ≥ 3(1 + 3/2) = 15/2`
Dấu “=” `↔ a = b = c = 1/2`
Vậy $GTNN$ của `P = 15/2 ↔ a= b = c= 1/2`
Giải thích các bước giải