Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn: a^2+b^2+c^2=1, tìm GTLN của biểu thức P=7a+4b+4c

0 bình luận về “Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn: a^2+b^2+c^2=1, tìm GTLN của biểu thức P=7a+4b+4c”

1. Đáp án:

   $GTLN$ của $P = 9 ⇔ a = \dfrac{7}{9}; b = \dfrac{4}{9} ; c = \dfrac{4}{9}$

    

   Giải thích các bước giải:

   Trước hết ta sẽ cm rằng với mọi $(a; b; c); (x; y; x) > 0$

   ta luôn có BĐT :

   $ ax + by + cz ≤ \sqrt{x² + y² + z²}.\sqrt{a² + b² + c²} (1)$

   $ ⇔ ( ax + by + cz)² ≤ (x² + y² + z²)(a² + b² + c²)$

   $ ⇔ a²x² + b²y² + c²z² + 2abxy + 2bcyz + 2cazx $

   $ ≤ a²x² + b²x² + c²x² + a²y² + b²y² + c²y² + a²z² + b²z² + c²z²$

   $ ⇔ – (a²y² – 2(ay)(bx) + b²x²) – (b²z² – 2(bz)(cy) + b²z²) – (c²x² – 2(cx)(az) + a²z²) ≤ 0$

   $ ⇔ – (ay – bx)² – (bz – cy)² – (cx –  az)² ≤ 0$ luôn đúng

   Dấu $’=’ ⇔ ay – bx = bz – cy = cx – az = 0$

   $ ay = bx; bz = cy; cx = az ⇔ \dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y} = \dfrac{c}{z}$

   Áp dụng $(1)$ với $x = 7; y = z = 4$ ta có:

   $ P = 7a + 4b + 4c ≤ \sqrt{7² + 4² + 4²}.\sqrt{a² + b² + c²} = \sqrt{81}.\sqrt{1} = 9$

   $ ⇒ GTLN$ của $P = 9 $

   $ ⇔ \dfrac{a}{7} = \dfrac{b}{4} = \dfrac{c}{4}; a² + b² + c² = 1$

   $ ⇔ a = \dfrac{7}{9}; b = \dfrac{4}{9} ; c = \dfrac{4}{9}$

   Bình luận