Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng
$\frac{1}{\sqrt{a(1+b)}}+\frac{1}{\sqrt{b(1+c)}}+\frac{1}{\sqrt{c(1+a)}}>2$
DÙNG
$\frac{1}{1+a+ab}+\frac{1}{1+b+bc}+\frac{1}{1+c+ca}=1$
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng
$\frac{1}{\sqrt{a(1+b)}}+\frac{1}{\sqrt{b(1+c)}}+\frac{1}{\sqrt{c(1+a)}}>2$
DÙNG
$\frac{1}{1+a+ab}+\frac{1}{1+b+bc}+\frac{1}{1+c+ca}=1$
Ta có :
$\sqrt[]{a.(1+b)} = \sqrt[]{a+ab} = \sqrt[]{1.(a+ab)} ≤ \dfrac{1+a+ab}{2}$
$\to \dfrac{1}{\sqrt[]{a.(1+b)}} ≥ \dfrac{2}{1+a+ab}$
Tương tự ta có : $\dfrac{1}{b.(1+c)}≥ \dfrac{2}{1+b+bc}$
$\dfrac{1}{c.(1+a)} ≥ \dfrac{2}{1+c+ca}$
Do đó : $VT_{đpcm} ≥ 2.\bigg(\dfrac{1}{1+a+ab}+\dfrac{1}{1+b+bc}+\dfrac{1}{1+c+ca}\bigg) = 2.1 = 2$ ( Do $abc=1$ )
Dấu “=” xảy ra khi $a+ab=1,c+ca=1,b+bc=1$ và $abc=1$
$\to$ Dấu “=” không xảy ra.
Do đó : $VT _{đpcm} > 2$