Cho các số thực dương a,b.Chứng minh bất đẳng thức. $\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{a^2}+\dfrac{16}{a+b} ≥5(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})$

Cho các số thực dương a,b.Chứng minh bất đẳng thức.
$\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{a^2}+\dfrac{16}{a+b} ≥5(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})$

0 bình luận về “Cho các số thực dương a,b.Chứng minh bất đẳng thức. $\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{a^2}+\dfrac{16}{a+b} ≥5(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})$”

  1. Đáp án:

     

    Giải thích các bước giải:

     Vì a,b>0 nên bất đẳng thức đã cho tương đương với:

    $\dfrac{a}{b^2}-\dfrac{1}{b}+\dfrac{b}{a^2}-\dfrac{1}{a}+4(\dfrac{4}{a+b}-\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b})≥0$

    $⇔\dfrac{a-b}{b^2}+\dfrac{b-a}{a^2}+4.\dfrac{4ab-(a+b)^2}{(a+b)ab}≥0$

    $⇔\dfrac{(a-b)^2(a+b)}{a^2b^2}-\dfrac{4(a-b)^2}{(a+b)ab}≥0$

    $⇔(a-b)^2[(a+b)^2-4ab]≥0$

    $⇔(a-b)^4≥0$

    Bình luận
  2. Đáp án:

    Dùng phương pháp biến đổi tương đương có:

    $\frac{a}{b^{2}}$+$\frac{b}{a^{2}}$+$\frac{16}{a+b}$ ≥5($\frac{1}{a}$ +$\frac{1}{b}$ )

    ⇔($\frac{a}{b^{2}}$-$\frac{1}{b}$) + ($\frac{b}{a^{2}}$-$\frac{1}{a}$)+4($\frac{4}{a+b}$ – $\frac{1}{a}$ – $\frac{1}{b}$) ≥0

    ⇔$\frac{a-b}{ b^{2} }$ – $\frac{a-b}{ a^{2} }$ +4(($\frac{4}{a+b}$ – $\frac{a+b}{ab}$ )≥0

    ⇔$\frac{(a-b)^2(a+b)}{a^2b^2}$ – $\frac{4(a-b)^2}{ab(a+b)}$ ≥0

    ⇔$(a-b)^{2}$ ($\frac{a+b}{a^2b^2}$ – $\frac{4}{ab(a+b)}$ ≥0

    ⇔$\frac{a+b}{a^2b^2}$ – $\frac{4}{ab(a+b)}$ ≥0

    ⇔$\frac{a+b}{ab}$ – $\frac{4}{a+b}$ ≥0 ⇔ $(a+b)^{2}$ – 4ab≥0

    Vì $(a+b)^{2}$ ≥ 0 ∀ a,b

    ⇒ đpcm

     

    Giải thích các bước giải:

     

    Bình luận

Viết một bình luận