Cho các số thực dương a,b.Chứng minh bất đẳng thức. $\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{a^2}+\dfrac{16}{a+b} ≥5(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})$

Đáp án:

Dùng phương pháp biến đổi tương đương có:

$\frac{a}{b^{2}}$+$\frac{b}{a^{2}}$+$\frac{16}{a+b}$ ≥5($\frac{1}{a}$ +$\frac{1}{b}$ )

⇔($\frac{a}{b^{2}}$-$\frac{1}{b}$) + ($\frac{b}{a^{2}}$-$\frac{1}{a}$)+4($\frac{4}{a+b}$ – $\frac{1}{a}$ – $\frac{1}{b}$) ≥0

⇔$\frac{a-b}{ b^{2} }$ – $\frac{a-b}{ a^{2} }$ +4(($\frac{4}{a+b}$ – $\frac{a+b}{ab}$ )≥0

⇔$\frac{(a-b)^2(a+b)}{a^2b^2}$ – $\frac{4(a-b)^2}{ab(a+b)}$ ≥0

⇔$(a-b)^{2}$ ($\frac{a+b}{a^2b^2}$ – $\frac{4}{ab(a+b)}$ ≥0

⇔$\frac{a+b}{a^2b^2}$ – $\frac{4}{ab(a+b)}$ ≥0

⇔$\frac{a+b}{ab}$ – $\frac{4}{a+b}$ ≥0 ⇔ $(a+b)^{2}$ – 4ab≥0

Vì $(a+b)^{2}$ ≥ 0 ∀ a,b

⇒ đpcm

Giải thích các bước giải: