Cho các số thực dương a,b.Chứng minh bất đẳng thức.
$\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{a^2}+\dfrac{16}{a+b} ≥5(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})$
Cho các số thực dương a,b.Chứng minh bất đẳng thức.
$\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{a^2}+\dfrac{16}{a+b} ≥5(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})$
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Vì a,b>0 nên bất đẳng thức đã cho tương đương với:
$\dfrac{a}{b^2}-\dfrac{1}{b}+\dfrac{b}{a^2}-\dfrac{1}{a}+4(\dfrac{4}{a+b}-\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b})≥0$
$⇔\dfrac{a-b}{b^2}+\dfrac{b-a}{a^2}+4.\dfrac{4ab-(a+b)^2}{(a+b)ab}≥0$
$⇔\dfrac{(a-b)^2(a+b)}{a^2b^2}-\dfrac{4(a-b)^2}{(a+b)ab}≥0$
$⇔(a-b)^2[(a+b)^2-4ab]≥0$
$⇔(a-b)^4≥0$
Đáp án:
Dùng phương pháp biến đổi tương đương có:
$\frac{a}{b^{2}}$+$\frac{b}{a^{2}}$+$\frac{16}{a+b}$ ≥5($\frac{1}{a}$ +$\frac{1}{b}$ )
⇔($\frac{a}{b^{2}}$-$\frac{1}{b}$) + ($\frac{b}{a^{2}}$-$\frac{1}{a}$)+4($\frac{4}{a+b}$ – $\frac{1}{a}$ – $\frac{1}{b}$) ≥0
⇔$\frac{a-b}{ b^{2} }$ – $\frac{a-b}{ a^{2} }$ +4(($\frac{4}{a+b}$ – $\frac{a+b}{ab}$ )≥0
⇔$\frac{(a-b)^2(a+b)}{a^2b^2}$ – $\frac{4(a-b)^2}{ab(a+b)}$ ≥0
⇔$(a-b)^{2}$ ($\frac{a+b}{a^2b^2}$ – $\frac{4}{ab(a+b)}$ ≥0
⇔$\frac{a+b}{a^2b^2}$ – $\frac{4}{ab(a+b)}$ ≥0
⇔$\frac{a+b}{ab}$ – $\frac{4}{a+b}$ ≥0 ⇔ $(a+b)^{2}$ – 4ab≥0
Vì $(a+b)^{2}$ ≥ 0 ∀ a,b
⇒ đpcm
Giải thích các bước giải: