Cho các số thực dương a,b thỏa mãn: $10a+b=3+\sqrt[]{5}$ Tìm GTNN của $P=$$\frac{1}{a}$+ $\frac{2}{b}$

Đáp án: $ P\ge\dfrac{(\sqrt{10}+\sqrt2)^2}{3+\sqrt5}$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$P=\dfrac1a+\dfrac2b$

$\to P=\dfrac{10}{10a}+\dfrac{2}{b}$

$\to P=\dfrac{(\sqrt{10})^2}{10a}+\dfrac{(\sqrt2)^2}{b}$

$\to P\ge\dfrac{(\sqrt{10}+\sqrt2)^2}{10a+b}$

$\to P\ge\dfrac{(\sqrt{10}+\sqrt2)^2}{3+\sqrt5}$

Dấu = xảy ra khi

$\begin{cases}\dfrac{\sqrt{10}}{10a}=\dfrac{\sqrt2}{b}\\ 10a+b=3+\sqrt5\end{cases}$

$\to \dfrac{\sqrt{10}}{10a}=\dfrac{\sqrt2}{b}=\dfrac{\sqrt{10}+\sqrt2}{10a+b}$

$\to \dfrac{\sqrt{10}}{10a}=\dfrac{\sqrt2}{b}=\dfrac{\sqrt{10}+\sqrt2}{3+\sqrt5}$

$\to a=\dfrac{5+\sqrt{5}}{20}, b=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$