Cho các số thực dương `a,b` thỏa mãn `a+b<=1` Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau `A=a^2+b^2+1/(a^2)+1/(b^2)`

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Theo BĐT Cô si: `a + b ≥ 2 sqrt {ab}` mà `a + b ≤ 1` ( theo đầu bài )

`⇒ 1 ≥ 2 sqrt {ab}`

`⇒1^2 ≥ (2 sqrt {ab})^2`

`⇒ 1 ≥ 4ab`

`⇒ 1/4 ≥ ab` ( chia cả 2 vế cho 4 thì giữ nguyên chiều BĐT )

`⇒ 4 ≤ 1/(ab)` ( nghịch đảo 2 phân số thì đổi chiều BĐT )

`⇔ A = a^2 + b^2 + 1/(a^2) + 1/(b^2)`

`⇔ A = ( a^2 + 1/16 × 1/(a^2) ) + ( b^2 + 1/16 × 1/(b^2) ) + ( 15/16 × 1/(a^2) + 15/16 × 1/(b^2) )`

`⇔ A = ( a^2 + 16 × 1/(a^2) ) + ( b^2 + 16 × 1/(b^2) ) + 15/16 × ( 1/(a^2) + 1/(b^2) )`

`⇔ A ≥ 2 sqrt {a^2 × 1/16 × 1/(a^2)} + 2 sqrt {a^2 × 1/16 × 1/(a^2)} + 15/16 × 2 sqrt {1/(a^2b^2)}`

`⇔ A ≥ 2 sqrt {1/16} + 2 sqrt {1/16} + 15/16 × 2 × 1/(ab)`

`⇔ A ≥ 2 × 1/4 +  2 × 1/4 + 15/16 × 2 × 4`

`⇔ A ≥ 1/2 + 1/2 + 15/2`

`⇔ A ≥ 17/2`

Để `A min = 17/2 `

`⇔ a^2 = 1/16 × 1/(a^2) ⇔ a^4 = 1/16 ⇔ a = 1/2`

`b^2 = 1/16 × 1/(b^2) ⇔ b^4 = 1/16 ⇔ b = 1/2`

`1/(a^2) = 1/(b^2) ⇔ ⇔a^2 = b^2 ⇔ a = b`

Vậy để `A min = 17/2 ⇔ a = b = 1/2`

Chúc bạn học tốt nha ^^