Cho các số thực dương `a,b` thỏa mãn `a+b<=1` Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau `A=a^2+b^2+1/(a^2)+1/(b^2)`

Bởi

Cho các số thực dương `a,b` thỏa mãn `a+b<=1` Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau `A=a^2+b^2+1/(a^2)+1/(b^2)`

0 bình luận về “Cho các số thực dương `a,b` thỏa mãn `a+b<=1` Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau `A=a^2+b^2+1/(a^2)+1/(b^2)`”

  2. Đáp án:

     

    Giải thích các bước giải:

    Theo BĐT Cô si: `a + b ≥ 2 sqrt {ab}` mà `a + b ≤ 1` ( theo đầu bài )

    `⇒ 1 ≥ 2 sqrt {ab}`

    `⇒1^2 ≥ (2 sqrt {ab})^2`

    `⇒ 1 ≥ 4ab`

    `⇒ 1/4 ≥ ab` ( chia cả 2 vế cho 4 thì giữ nguyên chiều BĐT )

    `⇒ 4 ≤ 1/(ab)` ( nghịch đảo 2 phân số thì đổi chiều BĐT )

    `⇔ A = a^2 + b^2 + 1/(a^2) + 1/(b^2)`

    `⇔ A = ( a^2 + 1/16 × 1/(a^2) ) + ( b^2 + 1/16 × 1/(b^2) ) + ( 15/16 × 1/(a^2) + 15/16 × 1/(b^2) )`

    `⇔ A = ( a^2 + 16 × 1/(a^2) ) + ( b^2 + 16 × 1/(b^2) ) + 15/16 × ( 1/(a^2) + 1/(b^2) )`

    `⇔ A ≥ 2 sqrt {a^2 × 1/16 × 1/(a^2)} + 2 sqrt {a^2 × 1/16 × 1/(a^2)} + 15/16 × 2 sqrt {1/(a^2b^2)}`

    `⇔ A ≥ 2 sqrt {1/16} + 2 sqrt {1/16} + 15/16 × 2 × 1/(ab)`

    `⇔ A ≥ 2 × 1/4 +  2 × 1/4 + 15/16 × 2 × 4`

    `⇔ A ≥ 1/2 + 1/2 + 15/2`

    `⇔ A ≥ 17/2`

    Để `A min = 17/2 `

    `⇔ a^2 = 1/16 × 1/(a^2) ⇔ a^4 = 1/16 ⇔ a = 1/2`

    `b^2 = 1/16 × 1/(b^2) ⇔ b^4 = 1/16 ⇔ b = 1/2`

    `1/(a^2) = 1/(b^2) ⇔ ⇔a^2 = b^2 ⇔ a = b`

    Vậy để `A min = 17/2 ⇔ a = b = 1/2`

    Chúc bạn học tốt nha ^^

    Bình luận

Viết một bình luận