cho các số thực dương a b thỏa mãn ab=1 tìm giá trị nhỏ nhất của P= a^2+b^2+5/(a+b+3)

0 bình luận về “cho các số thực dương a b thỏa mãn ab=1 tìm giá trị nhỏ nhất của P= a^2+b^2+5/(a+b+3)”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Áp dụng BĐT $(a + b)² ≥ 4ab = 4.1 = 4 ⇒ a + b ≥ 2$

   Ta có $: P = \dfrac{a² + b² + 5}{a + b + 3}$

   $ = \dfrac{a² + b² + 2.1 – 9 + 12}{a + b + 3}$

   $ = \dfrac{a² + b² + 2ab – 9 + 12}{a + b + 3}$

   $ = \dfrac{(a + b)² – 9 + 12}{a + b + 3}$

   $ = \dfrac{(a + b + 3)(a + b – 3) + 12}{a + b + 3}$

   $ = a + b – 3 + \dfrac{12}{a + b + 3}$

   $ = a + b + 3 + \dfrac{12}{a + b + 3} – 6$

   $ = \dfrac{12}{25}(a + b + 3) + \dfrac{12}{a + b + 3} + \dfrac{13}{25}(a + b + 3) – 6$

   $ = 12(\dfrac{a + b + 3}{25} + \dfrac{1}{a + b + 3}) + \dfrac{13}{25}(a + b + 3) – 6$

   $ ≥ 12.2\sqrt{\dfrac{a + b + 3}{25}.\dfrac{1}{a + b + 3}} + \dfrac{13}{25}(2 + 3) – 6$ ( cô si)

   $ = \dfrac{24}{5} + \dfrac{13}{5} – 6 = \dfrac{7}{5}$

   Vậy $GTNN$ của $P = \dfrac{7}{5} $ khi đồng thời:

   $ \left[ \begin{array}{l}\dfrac{a + b + 3}{25} = \dfrac{1}{a + b + 3}\\a + b = 2\end{array} \right.⇔ \left[ \begin{array}{l}a + b = 2\\ab = 1\end{array} \right. ⇔ \left[ \begin{array}{l}a  = 1\\b = 1\end{array} \right.$

   Cách khác :

   Đặt $x = a + b ≥ 2$

   $P = \dfrac{a² + b² + 5}{a + b + 3}$

   $ = \dfrac{a² + b² + 2.1 + 3}{a + b + 3}$

   $ = \dfrac{a² + b² + 2ab + 3}{a + b + 3}$

   $ = \dfrac{(a + b)² + 3}{a + b + 3}$

   $ = \dfrac{x² + 3}{x + 3}$

   $ ⇒ P – \dfrac{7}{5} = \dfrac{x² + 3}{x + 3} – \dfrac{7}{5}$

   $ = \dfrac{(5x² + 15) – (7x + 21)}{x + 3}$

   $ = \dfrac{(x – 2)(5x + 3)}{x + 3} ≥ 0 $( vì $x ≥ 2)$
   Vậy $GTNN$ của $P = \dfrac{7}{5}⇔ x = 2 $

   $ ⇔ a + b = 2 ; ab = 1 ⇔ a = b = 1$

   Bình luận