Cho các số thực dương a và b . Tìm $GTNN$ của `bt`:
$P=\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2}-3(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a})+3$
Cho các số thực dương a và b . Tìm $GTNN$ của `bt`:
$P=\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2}-3(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a})+3$
`P=a^2/b^2+b^2/a^2-3(a/b+b/a)+3`
`=(a/b+b/a)^2-3(a/b+b/a)+1`
`=(a/b+b/a)^2-3(a/b+b/a)+2-1`
`=(a/b+b/a)^2-2(a/b+b/a)-(a/b+b/a)+2-1`
`=(a/b+b/a)(a/b+b/a-2)-(a/b+b/a-2)-1`
`=(a/b+b/a-2)(a/b+b/a-1)-1`
Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương, ta có:
`a/b+b/a>=2\sqrt{a/b . b/a}=2`
`=>P>=(2-2).(2-1)-1=-1`
Dấu `=` xảy ra `<=>a=b`
Vậy `P_{min}=-1` đạt được khi `a=b`
Đáp án:
Ta có :
`P = a^2/b^2 + b^2/a^2 – 3(a/b + b/a) + 3`
`= (a^2/b^2 +2 + b^2/a^2) – 3(a/b + b/a) + 1`
`= (a/b + b/a)^2 – 3(a/b + b/a) + 1`
`= (a/b + b/a)^2 – 3(a/b + b/a) + 2 – 1`
`= (a/b + b/a – 1)(a/b + b/a- 2) – 1`
Áp dụng BĐT Cô si ta có :
`a/b + b/a ≥ 2\sqrt{a/b . b/a} = 2`
`-> P ≥ (2 – 1)(2 – 2) – 1 = 0 – 1 = -1`
Dấu “=” xảy ra `<=> a = b`
Vậy $GTNN$ của `P = -1 <=> a= b`
Giải thích các bước giải: