Cho các số thực dương `m,n,p`
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
`m(m/2+\frac{1}{np})+n(n/2+\frac{1}{pm})+p(p/2+\frac{1}{mn})`
Cho các số thực dương `m,n,p`
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
`m(m/2+\frac{1}{np})+n(n/2+\frac{1}{pm})+p(p/2+\frac{1}{mn})`
Đáp án:
`\text{Min}` `m(m/2+\frac{1}{np})+n(n/2+\frac{1}{mp})+p(p/2+\frac{1}{mn})=9/2`
Giải thích các bước giải:
Ta có:
`\sum [m(m/2+\frac{1}{np})]`
`=\sum (\frac{m^2}{2}+\frac{m}{np})`
`=\frac{\sum m^2}{2}+\sum \frac{m}{np}`
`>=\frac{3\root{3}{(xyz)^2}}{2}+\frac{3}{\root{3}{xyz}}`
Lại có:
`\frac{3\root{3}{(xyz)^2}}{2}+\frac{3}{\root{3}{xyz}}-9/2`
`=\frac{2(\root{3}{xyz}-1)^2(\root{3}{xyz}^2+2)}{2\root{3}{xyz}}>=0`
`=>\frac{3\root{3}{(xyz)^2}}{2}+\frac{3}{\root{3}{xyz}}>=9/2`
`=>m(m/2+\frac{1}{np})+n(n/2+\frac{1}{mp})+p(p/2+\frac{1}{mn})>=9/2`
Dấu bằng xảy ra khi `m=n=p=1`
Đáp án:
Đặt `A = m(m/2 + 1/(np)) + n(n/2 + 1/(mp)) + p(p/2 + 1/(mn))`
`= [(m^2 + n^2 + p^2)(mnp + 1 + 1)]/[2mnp]`
Áp dụng BĐT ` Cô si ` ta có :
`A >= `$ \dfrac{3\sqrt[3]{m^2n^2p^2} . 3\sqrt[3]{mnp . 1 . 1}}{2mnp} = \dfrac{9mnp}{2mnp}$ `= 9/2`
Dấu “=” xảy ra `<=> m = n = p = 1`
Vậy $Min_{A}$ `= 9/2 <=> m = n = p = 1`
Giải thích các bước giải: