Cho các số thực dương thỏa mãn `xy ≤ 1`. CM : `1/(1+x) + 1/(1+y) ≤ 2/(1 + √xy)` 16/07/2021 Bởi Julia Cho các số thực dương thỏa mãn `xy ≤ 1`. CM : `1/(1+x) + 1/(1+y) ≤ 2/(1 + √xy)`
Đáp án: `↓↓` Giải thích các bước giải: `1/(1+x)+1/(1+y)≤2/(1+√xy)` `⇔(x+y+2)/[(1+x).(1+y)]≤2/(1+√xy)` `⇔(x+y+2).(1+√xy)≤2.(x+1).(y+1)` `⇔x+y+√(x³.y)+√(y³.x)+2√(xy)+2≤2xy+2x+2y+2` `⇔√(xy).(x-2√(xy)+y)-(x-2√(xy)+y)≤0` `⇔(√xy-1).(√x-√y)²≤0` BĐT luôn đúng do `xy≤1` ⇒đpcm Học tốt Bình luận
Đáp án: $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y} \leq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$ với $x,y>0 , xy \leq1$ Giải thích các bước giải: $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y} \leq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$ $→(\frac{1}{1+x}-\frac{1}{1 + \sqrt{xy}})+(\frac{1}{1+y}-\frac{1}{1+\sqrt{xy}})\leq0$ $→\frac{\sqrt{xy}-x}{(1+x)(1+\sqrt{xy})}$ $+$ $\frac{\sqrt{xy}-y}{(1+y)(1+\sqrt{xy})}$ $\leq 0$ $→\frac{\sqrt{y}-\sqrt{x}}{1 + \sqrt{xy}}(\frac{\sqrt{x}}{1 + x} -\frac{\sqrt{y}}{1+y}) \leq 0$ $→\frac{\sqrt{y}-\sqrt{x}}{1 + \sqrt{xy}}$ . $\frac{\sqrt{x}(1+y)-\sqrt{y}(1+x)}{(1+x)(1+y)}$ $\leq0$ $→\frac{\sqrt{y}-\sqrt{x}}{1 + \sqrt{xy}}$ . $\frac{\sqrt{x} + y\sqrt{x} -\sqrt{y} -x\sqrt{y} }{(1+x)(1+y)}$ $\leq0$ $→\frac{\sqrt{y}-\sqrt{x}}{1 + \sqrt{xy}}$ . $\frac{(\sqrt{xy} -1)(\sqrt{y} -\sqrt{x})}{(1+x)(1+y)}$ $\leq 0$ $→\frac{(\sqrt{y}-\sqrt{x})².(\sqrt{xy}-1)}{(1 + \sqrt{xy})(1+x)(1+y)}$ $\leq0$ luôn đúng $∀x,y>0 , xy \leq1$ Vậy $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y} \leq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$ với $x,y >0 , xy \leq1$ Bình luận
Đáp án:
`↓↓`
Giải thích các bước giải:
`1/(1+x)+1/(1+y)≤2/(1+√xy)`
`⇔(x+y+2)/[(1+x).(1+y)]≤2/(1+√xy)`
`⇔(x+y+2).(1+√xy)≤2.(x+1).(y+1)`
`⇔x+y+√(x³.y)+√(y³.x)+2√(xy)+2≤2xy+2x+2y+2`
`⇔√(xy).(x-2√(xy)+y)-(x-2√(xy)+y)≤0`
`⇔(√xy-1).(√x-√y)²≤0`
BĐT luôn đúng do `xy≤1`
⇒đpcm
Học tốt
Đáp án:
$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y} \leq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$ với $x,y>0 , xy \leq1$
Giải thích các bước giải:
$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y} \leq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$
$→(\frac{1}{1+x}-\frac{1}{1 + \sqrt{xy}})+(\frac{1}{1+y}-\frac{1}{1+\sqrt{xy}})\leq0$
$→\frac{\sqrt{xy}-x}{(1+x)(1+\sqrt{xy})}$ $+$ $\frac{\sqrt{xy}-y}{(1+y)(1+\sqrt{xy})}$ $\leq 0$
$→\frac{\sqrt{y}-\sqrt{x}}{1 + \sqrt{xy}}(\frac{\sqrt{x}}{1 + x} -\frac{\sqrt{y}}{1+y}) \leq 0$
$→\frac{\sqrt{y}-\sqrt{x}}{1 + \sqrt{xy}}$ . $\frac{\sqrt{x}(1+y)-\sqrt{y}(1+x)}{(1+x)(1+y)}$ $\leq0$
$→\frac{\sqrt{y}-\sqrt{x}}{1 + \sqrt{xy}}$ . $\frac{\sqrt{x} + y\sqrt{x} -\sqrt{y} -x\sqrt{y} }{(1+x)(1+y)}$ $\leq0$
$→\frac{\sqrt{y}-\sqrt{x}}{1 + \sqrt{xy}}$ . $\frac{(\sqrt{xy} -1)(\sqrt{y} -\sqrt{x})}{(1+x)(1+y)}$ $\leq 0$
$→\frac{(\sqrt{y}-\sqrt{x})².(\sqrt{xy}-1)}{(1 + \sqrt{xy})(1+x)(1+y)}$ $\leq0$ luôn đúng $∀x,y>0 , xy \leq1$
Vậy $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y} \leq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$ với $x,y >0 , xy \leq1$