Cho các số thực dương `x,y` thõa mãn `xy <= 1` . Tìm GTNN của `P = 1/(x + 1) + 1/(y + 1)` 20/08/2021 Bởi Ximena Cho các số thực dương `x,y` thõa mãn `xy <= 1` . Tìm GTNN của `P = 1/(x + 1) + 1/(y + 1)`
`P=1/(x+1)+1/(y+1)` `⇔P=1/(x+1)+1/(y+1)+1-1` `⇔P=(x+1+y+1-(x+1)(y+1))/((x+1)(y+1))+1` `⇔P=(1-xy)/((x+1)(y+1))+1≥0+1=1` `”=” `xẩy ra khi : `xy=1` `⇔x=1/y` Bình luận
Đáp án: Ta có : `P – 1 = 1/(x + 1) + 1/(y + 1) – 1 = [y + 1 + x + 1 – (x + 1)(y + 1)]/[(x + 1)(y + 1)]` `= (x + y + 2 – xy – y – x – 1)/[(x + 1)(y + 1)]` `= (1 – xy)/[(x + 1)(y + 1)] >= 0 (∀x,y > 0 , xy ≤ 1)` `-> P – 1 >= 0 -> P >= 1` Dấu “=” xảy ra `<=> xy = 1 (x,y > 0)` , chẳng hạn `x = 1/2 , y = 2` Vậy $GTNN$ của `P = 1 <=>` , chẳng hạn `x = 1/2 , y = 2` Giải thích các bước giải: Bình luận
`P=1/(x+1)+1/(y+1)`
`⇔P=1/(x+1)+1/(y+1)+1-1`
`⇔P=(x+1+y+1-(x+1)(y+1))/((x+1)(y+1))+1`
`⇔P=(1-xy)/((x+1)(y+1))+1≥0+1=1`
`”=” `xẩy ra khi :
`xy=1`
`⇔x=1/y`
Đáp án:
Ta có :
`P – 1 = 1/(x + 1) + 1/(y + 1) – 1 = [y + 1 + x + 1 – (x + 1)(y + 1)]/[(x + 1)(y + 1)]`
`= (x + y + 2 – xy – y – x – 1)/[(x + 1)(y + 1)]`
`= (1 – xy)/[(x + 1)(y + 1)] >= 0 (∀x,y > 0 , xy ≤ 1)`
`-> P – 1 >= 0 -> P >= 1`
Dấu “=” xảy ra `<=> xy = 1 (x,y > 0)` , chẳng hạn `x = 1/2 , y = 2`
Vậy $GTNN$ của `P = 1 <=>` , chẳng hạn `x = 1/2 , y = 2`
Giải thích các bước giải: