Cho các số thực dương `x,y,z` thõa mãn `xyz = 27` . Tìm Giá trị nhỏ nhất của
`P = 1/(x + 3) + 1/(y + 3) + 1/(z + 3)`
Cho các số thực dương `x,y,z` thõa mãn `xyz = 27` . Tìm Giá trị nhỏ nhất của
`P = 1/(x + 3) + 1/(y + 3) + 1/(z + 3)`
Ta có
` 1/(x+3) + (x+3)/36 \ge 2 \sqrt( 1/(x+3) . (x+3)/36) = 2 . 1/6 = 1/3`
CMTT ta có
` 1/(y+3) + (y+3)/36 \ge 1/3`
` 1/(z+3) + (z+3)/36 \ge 1/3`
` \to 1/(x+3) + (x+3)/36 + 1/(y+3) + (y+3)/36 + 1/(z+3) + (z+3)/36 \ge 1/3 +1/3 +1/3 = 1`
`\to P + ( x + 3 + y +3 + z +3)/36 \ge 1`
`\to P + ( x+ y+ z + 9)/36 \ge 1`
Áp dụng BĐT Cauchy với ba số dương ` x , y, z ` ta có
` x +y + z \ge 3`$\sqrt[3]{xyz}$` = 3. 3 = 9`
`\to ( x + y +z+9)/36 \ge (9+9)/36 = 1/2`
`\to P + 1/2 \ge 1`
`\to P \ge 1/2`
Vậy GTNN của ` P = 1/2`, dấu `=` xảy ra khi ` x =y = z = 3`