Cho các số thực không âm a,b,c.Chứng minh rằng: $(a+b+c)^3 ≥a^3+b^3+c^3+24abc

0 bình luận về “Cho các số thực không âm a,b,c.Chứng minh rằng: $(a+b+c)^3 ≥a^3+b^3+c^3+24abc”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

    Ta có: $(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)$

   Nên bất đẳng thức đã cho tương đương với:

   $(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc$

   $⇔ab^2+ac^2+bc^2+ba^2+ca^2+cb^2≥6abc$

   $⇔ab^2-2abc+ac^2+bc^2-2abc+ba^2+ca^2-2abc+cb^2≥0$

   $⇔a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2≥0$

   Vậy ta có điều cần chứng minh

   Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$

   Cách khác:Tương tự như trên,ta biến đổi bất đẳng thức về dạng:

   $(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc$

   Ta thấy: $a+b=(√a-√b)^2+2√(ab)≥2√(ab)$

   Nhân bất đẳng thức này với 2 bất đẳng thức tương tự,ta thu được kết quả như trên

   Vote cho mình nha:))

   Trả lời

2. Đáp án:

   $(a+b+c)^3≥a^3+b^3+c^3+24abc$

   Giải thích các bước giải:

    $(a+b+c)^3≥a^3+b^3+c^3+24abc$

   $⇔a^3+b^3+c^3+3a^2b+3ab^2+3a^2c+3ac^2+3b^2c+3bc^2+6abc≥a^3+b^3+c^3+24abc$

   $⇔3a^2b+3ab^2+3a^2c+3ac^2+3b^2c+3bc^2-18abc≥0$

   $⇔(3a^2b-6abc+3bc^2)+(3ab^2-6abc+3ac^2)+(3a^2c-6abc+3b^2c)≥0$

   $⇔3b.(a^2-2ac+c^2)+3a.(b^2-2bc+c^2)+3c.(a^2-2ab+b^2)≥0$

   $⇔3b.(a-c)^2+3a.(b-c)^2+3c.(a-b)^2≥0$

   vì $a;b;c≥0$ nên $3b.(a-c)^2≥0; 3a.(b-c)^2≥0;3c.(a-b)^2≥0$

   $⇒3b.(a-c)^2+3a.(b-c)^2+3c.(a-b)^2≥0$

   $⇒(a+b+c)^3≥a^3+b^3+c^3+24abc$

   Trả lời