Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn √a + √b + √c = 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = √( 3a2 + 2ab + 3b2) + √(3b2 + 2bc + 3c2) + √( 3c2 + 2ca + 3a2)
Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn √a + √b + √c = 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = √( 3a2 + 2ab + 3b2) + √(3b2 + 2bc + 3c2) + √( 3c2 + 2ca + 3a2)
Đáp án: $P\ge 6\sqrt{2}$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$3a^2+2ab+3b^3=2(a+b)^2+(a-b)^2\ge 2(a+b)^2$
$\to \sqrt{3a^2+2ab+3b^2}\ge (a+b)\sqrt{2}(1)$
Tương tự:
$\sqrt{3b^2+2bc+3c^2}\ge (b+c)\sqrt{2}(2)$
$\sqrt{3c^2+2ca+3a^2}\ge (c+a)\sqrt{2}(3)$
Cộng vế với vế của $(1), (2), (3)$
$\to P\ge 2\sqrt{2}(a+b+c)$
$\to P\ge 2\sqrt{2}\cdot \dfrac13(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2$
$\to P\ge 2\sqrt{2}\cdot \dfrac13\cdot 3^2$
$\to P\ge 6\sqrt{2}$
Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$