Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn: `a+b+c=3` Tìm Max `P=ab ²+bc ²+ca ²`

0 bình luận về “Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn: `a+b+c=3` Tìm Max `P=ab ²+bc ²+ca ²`”

1. Giả sử $a$ nằm giữa $b$ và $c$

   $\to (a-b).(a-c) ≤ 0 $

   $⇔ a^2-ac+bc – ab ≤ 0 $

   $⇔ a^2+bc ≤ ac+ab$

   $⇔ a^2c+bc^2 ≤ ac^2+abc$

   $⇔a^2c + bc^2+ab^2 ≤ ab^2+ac^2+abc = a.(b^2+bc+c^2)$

   $≤ a.(b^2+2bc+c^2) = a.(b+c)^2 = 4.a.\dfrac{b+c}{2}.\dfrac{b+c}{2}$

   $≤ 4.\dfrac{\bigg(a+\dfrac{b+c}{2}+\dfrac{b+c}{2}\bigg)^3}{27}$

   $ = 4. \dfrac{(a+b+c)^3}{27} = 4.\dfrac{3^3}{27} =4$

   $\to P ≤ 4$

   Dấu “=” xảy ra $⇔(a,b,c) = (1,0,2)$ và các hoán vị.

   Vậy $Max$ $P=4$ khi $(a,b,c) = (1,0,2)$ và các hoán vị.

   Bình luận

2. Đáp án:

   `Max_P=4<=>(a,b,c)=(1,0,2)` và các hoán vị của nó.

   Giải thích các bước giải:

   Vì vai trò a,b,c như nhau nên ta giả sử:

   `b<=a<=c`

   `=>a-b>=0,a-c<=0`

   `=>(a-b)(a-c)<=0`

   `<=>a^2-ab-ac+bc<=0`

   `<=>a^2+bc<=ab+ac`

   `<=>ca^2+bc^2<=abc+ac^2`

   `<=>ab^2+bc^2+ca^2<=abc+ac^2+ab^2`

   Mà `abc>=0(a,b,c>=0)`

   `=>P<=ab^2+2abc+ac^2`

   `=>P<=a(b^2+2bc+c^2)`

   `=>P<=a(b+c)^2`

   `=>P<=a(3-a)^2`

   Cần CM:

   `a(3-a)^2<=4(@)`

   `<=>a(a^2-6a+9)<=4`

   `<=>a^3-6a^2+9a-4<=0`

   `<=>a^3-2a^2+a-4a^2+8a-4<=0`

   `<=>a(a^2-2a+1)-4(a^2-a+1)<=0`

   `<=>(a-1)^2(a-4)<=0`

   Vì `a+b+c=3`

   `=>a=3-b-c<=3<4`

   `=>a-4<0`

   Mà `(a-1)^2>=0`

   `=>(a-1)^2(a-4)<=0` luôn đúng.

   `=>(@)` được chứng minh.

   Hay `P<=4`

   Dấu “=” xảy ra khi `(a,b,c)=(1,0,2)` và các hoán vị của nó.

   Bình luận