Cho các số thực không âm `a,b,c` thỏa mãn `ab-2(ac+bc+1)=0`
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
`A=3(\frac{a}{a^2+2}+\frac{b}{b^2+2}-\frac{c^2}{4})+\frac{(ab-6)^2-4(a^2+b^2+8)}{2(2c^2+1)(a+b)^2}`
P/s: Đầu tuần tặng mn câu bất nhẹ nhẹ này 🙂 bạn nào giỏi nghĩ đc 2 cách thì càng tốt :>
Thui bye, 3 tuần sau gặp lại, giờ phải tập trung ôn thi hk đã >.<
Đáp án:
`A_{\text{Max}}=5/8`
Giải thích các bước giải:
Ta có:
`A=3(\frac{a}{a^2+2}+\frac{b}{b^2+2}-\frac{c^2}{4})+\frac{(ab-6)^2-4(a^2+b^2+8)}{2(2c^2+1)(a+b)^2}`
`=3(\frac{a}{a^2+2}+\frac{b}{b^2+2}-\frac{c^2}{4})+\frac{a^2b^2-12ab+4-4a^2-4y^2}{(4c^2+2)(a+b)^2}`
`=3(\frac{a}{a^2+2}+\frac{b}{b^2+2}-\frac{c^2}{4})+\frac{(ab-2)^2-4(a+b)^2}{(4c^2+2)(a+b)^2}`
`=3(\frac{a}{a^2+2}+\frac{b}{b^2+2}-\frac{c^2}{4})+\frac{4c^2-4}{4c^2+2}`
Đặt `x=1/a;y=1/b;z=2c`
`=>2xy+yz+zx=1`
Dễ thấy `A<=\frac{3}{\sqrt{z^2+2}}-\frac{3z^2}{16}+\frac{z^2-4}{z^2+2}`
Xét hàm số `f(z)=\frac{3}{\sqrt{z^2+2}}-\frac{3z^2}{16}+\frac{z^2-4}{z^2+2}`
`=>f'(x)=\frac{-3z(\sqrt{z^2+2}-4)}{(z^2+2)^2}-\frac{3z}{8}`
`f'(x)>=0<=>(z^2+2)^2+8(\sqrt{z^2+2}-4)<=0`
`<=>\sqrt{z^2+2}<=2<=>0<=z<=\sqrt{2}`
Lập bảng biến thiên tìm được giá trị lớn nhất của `A` là `5/8`
`<=>a=b=2+\sqrt{2};c=\frac{\sqrt{2}}{2}`