Cho các số thực không âm sao cho `a+b+c=3` Tìm GTLN của `P=a\sqrt{b^3+1}+b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{a^3+1}`

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Không mất tính tổng quát, giả sử $a=mid(a;b;c)$

$\rightarrow (a-b)(a-c) \leq 0 \rightarrow a^2+bc \leq ab+ac$

$\rightarrow a^2c+bc^2 \leq abc +ac^2 \leq 2abc+ac^2$

Ta có:

$a\sqrt{(b+1)(b^2-b+1)} \leq \frac{1}{2}a(b+1+b^2-b+1) =\frac{1}{2}a(b^2+2)$

Tương tự: $b\sqrt{(c+1)(c^2-c+1)} \leq \frac{1}{2}b(c^2+2)$

$c\sqrt{(a+1)(a^2-a+1)} \leq \frac{1}{2}c(a^2+2)$

$\rightarrow P \leq \frac{1}{2}(ab^2+bc^2+ca^2)+a+b+c \leq \frac{1}{2}(ab^2+2abc+ac^2)+3$

$\rightarrow P \leq \frac{1}{4}2a(b+c)^2+3=\frac{1}{4}2a(b+c)(b+c)+3 \leq \frac{1}{108}(2a+b+c+b+c)^3+3=5$

$\rightarrow P_{max}=5$ khi $(a;b;c)=(1;2;0)$ và các hoán vị của chúng

Mất cả buổi chiều lẫn trưa lun