Cho các số thực không âm x,y thỏa x+y=1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=(4x^2 + 3y).(4y^2+3x)+25xy

Đáp án:

$\begin{array}{l}
{S_{\max }} = \frac{{25}}{2}\\
{S_{\min }} = \frac{{191}}{{16}}
\end{array}$

Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l}
x + y = 1\\
 =  > {x^2} + {y^2} + 2xy = 1\\
 <  =  > {x^2} + {y^2} = 1 – 2xy
\end{array}$

$\begin{array}{l}
S = (4{x^2} + 3y)(4{y^2} + 3x) + 25xy\\
 = 16{x^2}{y^2} + 12({x^3} + {y^3}) + 34xy\\
 = 16{x^2}{y^2} + 12(x + y)({x^2} – xy + {y^2}) + 34xy\\
 = 16{x^2}{y^2} + 12(1 – 2xy – xy) + 34xy\\
 = 16{x^2}{y^2} – 2xy + 12\\
 = {(4xy)^2} – 2.4xy.\frac{1}{4} + \frac{1}{{16}} – \frac{1}{{16}} + 12\\
 = {(4xy – \frac{1}{4})^2} + \frac{{191}}{{16}} \ge \frac{{191}}{{16}}
\end{array}$

$\begin{array}{l}
x + y \ge 2\sqrt {xy} \\
 <  =  > 1 \ge 2\sqrt {xy} \\
 <  =  > \sqrt {xy}  \le \frac{1}{2}\\
 <  =  > 0 \le xy \le \frac{1}{4}\\
 =  > 0 \le {\left( {4xy – \frac{1}{4}} \right)^2} \le {\left( {4.\frac{1}{4} – \frac{1}{4}} \right)^2}\\
 <  =  > {\left( {4xy – \frac{1}{4}} \right)^2} \le \frac{9}{{16}}\\
 =  > {\left( {4xy – \frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{{191}}{{16}} \le \frac{9}{{16}} + \frac{{191}}{{16}} = \frac{{25}}{2}
\end{array}$