Cho các số thực $m,n,p$ thỏa mãn $n^2 +p^2 +np = 1 – \dfrac{3m^{2}}{2}$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$ S=m+n+p $$
Cho các số thực $m,n,p$ thỏa mãn $n^2 +p^2 +np = 1 – \dfrac{3m^{2}}{2}$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$ S=m+n+p $$
Đáp án:
Tham khảo
Giải thích các bước giải:
$\text{ Ta có:n²+np+p²=1-$\frac{3m²}{2}$ (1)}$
$⇔(m+n+p)²+(m-p)²+(n-m)²=2$
$⇔(m+n+p)²=2-(m-p)²-(n-m)²≤2$
$⇒S²≤2$
$⇔-\sqrt{2}≤S≤\sqrt{2}$
$⇔S=\sqrt{2}⇔m=n=p=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$
$⇔S=\sqrt{-2}⇔m=n=p=-\dfrac{\sqrt{2}}{3}$
$\text{⇒MaxS=$\sqrt{2}$ khi m=n=p=$\dfrac{\sqrt{2}}{3}$}$
$\text{⇒MinS=$-\sqrt{2}$ khi m=n=p=$-\dfrac{\sqrt{2}}{3}$}$
$gt\Rightarrow 2n^{2}+2p^{2}+2np=2-3m^{2}$
$\Rightarrow 2(n+p)^{2}=2+2np-3m^{2}\leq 2+\frac{(n+p)^{2}}{2}-3m^{2}$
$\Rightarrow \frac{3(n+p)^{2}}{2}+3m^{2}\leq 2$
$\Rightarrow 2\geq 3(m^{2}+\frac{(n+p)^{2}}{4}+\frac{(n+p)^{2}}{4})\geq (m+\frac{n+p}{2}+\frac{n+p}{2})^{2}=(m+n+p)^{2}$
$\Rightarrow \sqrt{2}\geq m+n+p\geq -\sqrt{2}$
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
$Max=\sqrt{2}\Leftrightarrow m=n=p=\frac{\sqrt{2}}{3}$
$Min=-\sqrt{2}\Leftrightarrow m=n=p=\frac{-\sqrt{2}}{3}$