cho các số thực x, y thỏa mãn x^2+y^2+5x=2xy+2.tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B=3x+2y

Đáp án:

\[3\]

Giải thích các bước giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} + 5x = 2xy + 2\\
 \Rightarrow 3x = 2xy + 2 – 2x – {x^2} – {y^2}\\
 \Rightarrow B = 3x + 2y =  – {x^2} – {y^2} + 2xy – 2x + 2 + 2y\\
 \Leftrightarrow B =  – \left( {{x^2} + {y^2} + 1 – 2xy + 2x – 2y} \right) + 3\\
 \Leftrightarrow B =  – {\left( {x – y + 1} \right)^2} + 3 \le 3
\end{array}\)

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi \(x – y + 1 = 0 \Leftrightarrow y = x + 1\)

Thay vào giả thiết ta có:

\(\begin{array}{l}
{x^2} + {\left( {x + 1} \right)^2} + 5x = 2x\left( {x + 1} \right) + 2\\
 \Leftrightarrow 2{x^2} + 2x + 1 + 5x = 2{x^2} + 2x + 2\\
 \Leftrightarrow 5x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{5} \Rightarrow y = \frac{6}{5}
\end{array}\)