Cho các số thực x, y thoả mãn x^2+y^2=5 Tìm Giá Trị Lớn Nhất, Giá Trị Nhỏ Nhất Của Biểu Thức P=3x^2 – 4xy

Đáp án:

GTNN của P = – 5 dấu “=” xảy ra khi  x = – 1; y = – 2 và x = 1; y = 2

GTLN của P = 20 dấu “=” xảy ra khi y = – 1; x = 2 và y = 1; x = – 2

Giải thích các bước giải:

Ta có: 

P = 3x² – 4xy (1)

5 = x² + y² (2)

$\Rightarrow $ P + 5 = 3x² – 4xy + (x² + y²) = 4x² – 4xy +  y² = (2x – y)² ≥ 0 ⇔ P ≥ – 5

Vậy GTNN của P = – 5 ⇔ 2x – y = 0 ⇔ y = 2x

Thay vào (2): 5x² = 5 ⇔ x = – 1; y = – 2 và x = 1; y = 2

P – 20 = 3x² – 4xy – 4(x² + y²) = – x² – 4xy – 4y² = – (x + 2y)² ≤ 0

⇔ P ≤ 20

Vậy GTLN của P = 20 ⇔ x + 2y = 0 ⇔ x = – 2y 

Thay vào (2): 5y² = 5 ⇔ y = – 1; x = 2 và y = 1; x = – 2