Cho các số thực x ,y ,z thay đổi sao cho 3x+y+z ≥ 12 . Tìm gtnn của M = 5 $x^{2}$ +3 $y^{2}$ + $z^{2}$-2xy+2yz-6x-6y+14

0 bình luận về “Cho các số thực x ,y ,z thay đổi sao cho 3x+y+z ≥ 12 . Tìm gtnn của M = 5 $x^{2}$ +3 $y^{2}$ + $z^{2}$-2xy+2yz-6x-6y+14”

1. Đáp án:

   $GTNN$ của $M$ là $32$ tại $x=y=3 , z=0$

   Giải thích các bước giải:

   $M = 5x² + 3y² + z² – 2xy + 2yz – 6x – 6y + 14$

   $M = (y² + 2yz + z²) + 5x² + 2y² – 2xy – 6x – 6y + 14$

   $M = (y + z)² + 5x² + 2y² – 2xy – 6x – 6y + 14$

   $→(y + z)² = M – 5x² – 2y² + 2xy + 6x + 6y – 14$

   Do $3x + y + z \geq 12→y + z \geq 12 – 3x $

   Với $12 – 3x \geq 0 → x \leq 4$

   $(y – z)² \geq (12 – 3x)²$

   $→ M = 5x² + 3y² + z² – 2xy + 2yz – 6x – 6y + 14 \geq 144 – 72x + 9x² $

   $→ M \geq 14x² + 2y² – 2xy – 78x – 6y + 158$

   $→ M \geq (x² – 2xy + y²) + (13x² – 78x + 117) + (y² – 6y + 9) + 32$

   $→ M \geq (x – y)² + 13(x – 3)² + (y – 3)² + 32$

   Vì $(x – y)² ≥ 0$

       $13(x – 3)² ≥ 0 $ 

       $(y – 3)² ≥ 0$

   $⇒ M ≥ 32$

   Dấu “=” xảy ra $→\left \{ {{x – y = 0} \atop {x- 3 = 0}} \atop {{y – 3 = 0}} \right. →\left \{ {{x = y} \atop {x =3}} \atop {{y = 3}}\right.→ x =y=3$

   Khi đó ta có :

   $3x + y + z \geq 12 → 3.3 + 3 + z \geq 12→z\geq 0$

   Vậy GTNN của $M$ là $32$ tại $x=y=3 , z=0$

   Bình luận