cho các số tự nhiên a và b khác 0 sao cho a+1/b+b+1/a có giá trị là số tự nhiên.Gọi d là ƯCLN(a;b).Chứng minh rằng a+b lớn hơn hoặc bằng d^2

0 bình luận về “cho các số tự nhiên a và b khác 0 sao cho a+1/b+b+1/a có giá trị là số tự nhiên.Gọi d là ƯCLN(a;b).Chứng minh rằng a+b lớn hơn hoặc bằng d^2”

1. Đáp án:

   -.-

   Giải thích các bước giải:

   Ta có :

   `[a+1]/b+[b+1]/a`

   `=[a(a+1)+b(b+1)]/[ab]`

   `=[a^2+a+b^2+b]/[ab]`

   Vì `[a^2+a+b^2+b]/[ab] ∈ NN`

   `=> a^2+a+b^2+b\vdotsab`

   Lại có :

   `(a;b)=d`

   `=>a\vdotsd;b\vdotsd`

   `⇒ab\vdotsd^2;b^2\vdotsd` và `a^2\vdotsd`

   `⇒a^2+b^2\vdotsd`

   Vì `a^2+a+b^2+b\vdotsab` mà `ab\vdotsd^2`

   `=>a^2+a+b^2+b\vdotsd^2`

   Mà `a^2+b^2\vdotsd^2`

   `=>a+b\vdotsd^2`

   `=>a+b≥d^2` `(Đpcm)`

   Bình luận

2. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Ta có : `(a+1)/b+(b+1)/a=(a(a+1)+b(b+1))/(ab)`

   `=(a^2+a+b^2+b)/(ab)`

   Vì :`(a^2+a+b^2+b)/(ab)` có giá trị là số tự nhiên

   `=> a^2+a+b^2+b vdots ab`

   Mặt khác : `d` là ` ƯCLN(a;b)`

   `=>`$\begin{cases}a \vdots d\\b \vdots d \end{cases}$`=>`$\begin{cases}ab \vdots d^{2} \\b^{2} \vdots d\\a^{2}\vdots d\end{cases}$ `=> a^2+b^2 vdots d`

   Vì :`a^2+a+b^2+b vdots ab`

   Mà : `ab vdots d^2` (cmt)

   `=> a^2+a+b^2+b vdots d^2`

   Kết hợp với : `a^2+b^2 vdots d^2` (cmt)

   `=> a+b vdots d^2`

   `=> a+b>=d^2` 

   Bình luận