Cho các số x, y thỏa mãn |x + y| + |x − y| = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x 2 + y 2

Đáp án:$Min_S=1\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x=0\\y=1\\\end{cases}\\\begin{cases}x=0\\y=-1\\\end{cases}\\\begin{cases}y=0\\x=1\\\end{cases}\\\begin{cases}y=0\\x=-1\\\end{cases}\end{array} \right.$

Giải thích các bước giải:

`S=x^2+y^2`

`<=>2S=2x^2+2y^2`

`<=>2S=x^2-2xy+y^2+x^2+2xy+y^2`

`<=>2S=(x-y)^2+(x+y)^2`

Áp dụng BĐT cauchy`(2a^2+2b^2>=(a+b)^2)` ta có:

`2[(x-y)^2+(x+y)^2]>=(|x-y|+|x+y|)^2`

`<=>4S>=4`

`<=>S>=1`.

Dấu “=” xảy ra khi $\begin{cases}|x-y|=|x+y|\\|x+y|+|x-y|=2\\\end{cases}$

`<=>` $\begin{cases}(x-y)^2=(x+y)^2\\2|x+y|=2\\\end{cases}$

`<=>` $\begin{cases}x^2-2xy+y^2=x^2+2xy+y^2\\|x+y|=1\\\end{cases}$

`<=>` $\begin{cases}4xy=0\\|x+y|=1\\\end{cases}$

`<=>` $\begin{cases}\left[ \begin{array}{l}x=0\\y=0\end{array} \right.\\|x+y|=1\\\end{cases}$

`<=>` $\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x=0\\|y|=1\\\end{cases}\\\begin{cases}y=0\\|x|=1\\\end{cases}\end{array} \right.$

`<=>` $\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x=0\\\left[ \begin{array}{l}y=1\\y=-1\end{array} \right.\\\end{cases}\\\begin{cases}y=0\\\left[ \begin{array}{l}x=1\\x=-1\end{array} \right.\\\end{cases}\end{array} \right.$

`<=>` $\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x=0\\y=1\\\end{cases}\\\begin{cases}x=0\\y=-1\\\end{cases}\\\begin{cases}y=0\\x=1\\\end{cases}\\\begin{cases}y=0\\x=-1\\\end{cases}\end{array} \right.$

Vậy $Min_S=1\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x=0\\y=1\\\end{cases}\\\begin{cases}x=0\\y=-1\\\end{cases}\\\begin{cases}y=0\\x=1\\\end{cases}\\\begin{cases}y=0\\x=-1\\\end{cases}\end{array} \right.$