cho các số x,y,z khác nhau đôi một thỏa mãn :x ³(y-z)+z ³(x-y)=y ³(z-x) chứng minh rằng: x ³+y ³+z ³=3xyz

0 bình luận về “cho các số x,y,z khác nhau đôi một thỏa mãn :x ³(y-z)+z ³(x-y)=y ³(z-x) chứng minh rằng: x ³+y ³+z ³=3xyz”

1. Đáp án:tham khảo

    

   Giải thích các bước giải:

   $\text{ Có}$:$x^3(y-x)+z^3(x-y)=y^3(z-x)$

   $⇔x^3(y-z)+z^3(x-y)-3y^3(z-x)=0$

   $⇔x³y-x³z+z³x-z³y-y³z+y³z=0$

   $⇔xy(x²+y²)-xz(x²-z²)-yz(z²+y²)=0$

   Có\(\left[ \begin{array}{l}x²+y²≥0\\x²-z²≥0\\x²+y²≥0\end{array} \right.\) 
   ⇒\(\left[ \begin{array}{l}xy=0\\xz=0\\yz=0\end{array} \right.\) 

   ⇒\(\left[ \begin{array}{l}x=0\\y=0\\z=0\end{array} \right.\) 
   $⇒x+y+z=0⇔x+y=-z$

   $\text{Có}$:$x³y³z³-3xyz$

   $=(x+y)³+z³-3xy(x+y)-3xyz$

   $=-z³+z³-3xy(-z)-xyz$

   $=0+3xyz-3xyz$

   $=0$

   $⇒x³+y³+z³-3xyz=0$

   $⇒x³+y³+z³=3xyz$$\text{(đpcm)}$

   Bình luận