Cho các số `x,y,z` không âm. Chứng minh : `1/(x-y)^2+1/(y-z)^2+1/(z-x)^2≥4/(xy+yz+xz)`

0 bình luận về “Cho các số `x,y,z` không âm. Chứng minh : `1/(x-y)^2+1/(y-z)^2+1/(z-x)^2≥4/(xy+yz+xz)`”

1. WLOG, giả sử $ x \ge y \ge z$

   $\dfrac{1}{(x-y)^2} + \dfrac{1}{(y-z)^2} + \dfrac{1}{(z-x)^2} = \dfrac{1}{(x-y)^2} + \dfrac{(y-z)^2 + (z-x)^2}{(y-z)^2(x-z)^2}$

   $ = \dfrac{1}{(x-y)^2} + \dfrac{y^2 -2yz + 2z^2 + x^2 -2xz}{(y-z)^2(x-z)^2}$

   $ = \dfrac{1}{(x-y)^2}+ \dfrac{(x^2 -2xy +y^2) + 2(z^2 -xz – zy +xy)}{(y-z)^2(x-z)^2} $

   $ = \dfrac{1}{(x-y)^2}+ \dfrac{ (x-y)^2 + 2(z-x)(z-y)}{(y-z)^2(x-z)^2}$

   $ = \dfrac{1}{(x-y)^2}+ \dfrac{(x-y)^2}{(y-z)^2(x-z)^2} + 2 *\dfrac{1}{(z-y)(z-x)}$

   Ta có $a^2 +b^2 \ge 2ab\  ∀\  a;b $

   $\to \dfrac{1}{(x-y)^2}+ \dfrac{(x-y)^2}{(y-z)^2(x-z)^2} \ge 2* \dfrac{1}{(z-y)(x-z)}$

   $\to \dfrac{1}{(x-y)^2}+ \dfrac{(x-y)^2}{(y-z)^2(x-z)^2} + 2 *\dfrac{1}{(z-y)(z-x)} \ge \dfrac{4}{(z-y)(z-x)}$

    Ta sẽ chứng minh 

   $ (z-y)(z-x) \le xy +yz + xz \to z^2 – zx -yz +xy \le xy + yz +xz$

   $\to z^2 – zx – yz – xz \le 0 \to z(z-2x-y) \le 0$ (đúng vì $z \le y \le x$ )

   BĐT đề bài được chứng minh

   Trả lời