Cho (Cm) x^2+y^2-(m-6)x-2(m-1)ý+m+10=0 (1). Tìm m để (1) là phương trình đường tròn. Tìm quỹ tích tâm I

Ta có

$(C_m): x^2 + y^2 – (m-6)x – 2(m-1)y + m + 10 = 0$

$\Leftrightarrow (C_m): \left( x – \dfrac{m-6}{2} \right)^2 + (y – m + 1)^2 – \dfrac{(m-6)^2}{4} – (m-1)^2 + m + 10 = 0$

$\Leftrightarrow (C_m): \left( x – \dfrac{m-6}{2} \right)^2 + (y – m + 1)^2 = \dfrac{(m-6)^2}{4} + (m-1)^2 – m – 10$

$\Leftrightarrow (C_m): \left( x – \dfrac{m-6}{2} \right)^2 + ([y – (m – 1)]^2 = \dfrac{(m-6)^2}{4} + (m-1)^2 – m – 10$

Để $(C_m)$ là một phương trình đường tròn thì ta phải có

$\dfrac{(m-6)^2}{4} + (m-1)^2 – m – 10 > 0$

$<-> (m-6)^2 + 4(m-1)^2 – 4m – 40 > 0$

$<-> 5m^2 -24m > 0$

$<-> m(5m – 24) > 0$

Vậy $0 < m < \dfrac{24}{5}$.

Ta có tâm $I \left( \dfrac{m-6}{2}, m-1 \right)$

Ta thấy rằng

$\begin{cases} x_I = \dfrac{m-6}{2},\\ y_I = m-1 \end{cases}$

Từ ptrinh sau ta suy ra $m = y_I + 1$. Thế vào ptrinh đầu ta có

$2x_I = y_I + 1 – 6$

$<-> 2x_I – y_I + 5 = 0$

Vậy quỹ tích của điểm I là

$d: 2x – y + 5 = 0$.