cho CSC có tính chất: Sm/Sn = m^2/n^2 (m#n). chứng minh Um/Un = (2m-1)/(2n-1)

0 bình luận về “cho CSC có tính chất: Sm/Sn = m^2/n^2 (m#n). chứng minh Um/Un = (2m-1)/(2n-1)”

1. Giải thích các bước giải:

   Gọi số hạng đầu của CSC là  \({u_1} = a\) và công sai của CSC là \(d\).

   Khi đó, ta có:

   \(\begin{array}{l}
   {S_m} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + … + {u_m}\\
    = a + \left( {a + d} \right) + \left( {a + 2d} \right) + …. + \left( {a + \left( {m – 1} \right)d} \right)\\
    = ma + d\left( {1 + 2 + …. + \left( {m – 1} \right)} \right)\\
    = ma + \frac{{\left( {m – 1} \right)m}}{2}d\\
   {S_m} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + … + {u_n}\\
    = a + \left( {a + d} \right) + \left( {a + 2d} \right) + …. + \left( {a + \left( {n – 1} \right)d} \right)\\
    = ma + d\left( {1 + 2 + …. + \left( {n – 1} \right)} \right)\\
    = na + \frac{{\left( {n – 1} \right)n}}{2}d\\
   \frac{{{S_m}}}{{{S_n}}} = \frac{{{m^2}}}{{{n^2}}} \Leftrightarrow \frac{{ma + \frac{{\left( {m – 1} \right)m}}{2}d}}{{na + \frac{{\left( {n – 1} \right)n}}{2}d}} = \frac{{{m^2}}}{{{n^2}}}\\
    \Leftrightarrow 2m.{n^2}a + \left( {m – 1} \right).m.{n^2}.d = 2{m^2}.n.a + \left( {n – 1} \right)n.{m^2}d\\
    \Leftrightarrow 2na + \left( {m – 1} \right).n.d = 2ma + \left( {n – 1} \right)m.d\\
    \Leftrightarrow \left( {2n – 2m} \right)a = \left[ {\left( {n – 1} \right)m – \left( {m – 1} \right)n} \right]d\\
    \Leftrightarrow \left( {2n – 2m} \right)a = \left( { – m + n} \right)d\\
    \Leftrightarrow 2a = d\\
    \Rightarrow \frac{{{u_m}}}{{{u_n}}} = \frac{{a + \left( {m – 1} \right)d}}{{a + \left( {n – 1} \right)d}} = \frac{{a + \left( {m – 1} \right).2a}}{{a + \left( {n – 1} \right).2a}} = \frac{{2m – 1}}{{2n – 1}}
   \end{array}\)

   Bình luận