cho d: 2x-y-1=0. E(1;6),F(-3;-4).Tìm M trên d sao cho |ME+MF| nhỏ nhất

0 bình luận về “cho d: 2x-y-1=0. E(1;6),F(-3;-4).Tìm M trên d sao cho |ME+MF| nhỏ nhất”

1. Đáp án:

   $M\left( {\dfrac{3}{5};\dfrac{1}{5}} \right)$

   Giải thích các bước giải:

    Ta có:

   $\left( d \right):2x – y – 1 = 0$ và $E\left( {1;6} \right),F\left( { – 3; – 4} \right)$

   Mà $M \in \left( d \right) \Rightarrow M\left( {x;2x – 1} \right)$

   $\begin{array}{l}
    \Rightarrow \overrightarrow {ME}  = \left( {1 – x;7 – 2x} \right);\overrightarrow {MF}  = \left( { – 3 – x; – 3 – 2x} \right)\\
    \Rightarrow \overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {MF}  = \left( { – 2 – 2x;4 – 4x} \right)
   \end{array}$

   Khi đó:

   $\begin{array}{l}
   \left| {\overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {MF} } \right| = \sqrt {{{\left( { – 2 – 2x} \right)}^2} + {{\left( {4 – 4x} \right)}^2}} \\
    = \sqrt {4{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 16{{\left( {x – 1} \right)}^2}} \\
    = \sqrt {20{x^2} – 24x + 20} \\
    = \sqrt {20\left( {{x^2} – 2.x.\dfrac{3}{5} + \dfrac{9}{{25}} + \dfrac{{16}}{{25}}} \right)} \\
    = \sqrt {20{{\left( {x – \dfrac{3}{5}} \right)}^2} + \dfrac{{64}}{5}} 
   \end{array}$

   Mà ${\left( {x – \dfrac{3}{5}} \right)^2} \ge 0,\forall x$

   $\begin{array}{l}
    \Rightarrow 20{\left( {x – \dfrac{3}{5}} \right)^2} + \dfrac{{64}}{5} \ge \dfrac{{64}}{5},\forall x\\
    \Rightarrow \left| {\overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {MF} } \right| \ge \dfrac{8}{{\sqrt 5 }}
   \end{array}$

   Dấu bằng xảy ra

   $\begin{array}{l}
    \Leftrightarrow x – \dfrac{3}{5} = 0\\
    \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{5}
   \end{array}$

   $ \Rightarrow Min\left| {\overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {MF} } \right| = \dfrac{8}{{\sqrt 5 }} \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{5}$

   Hay $Min\left| {\overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {MF} } \right| = \dfrac{8}{{\sqrt 5 }} \Leftrightarrow M\left( {\dfrac{3}{5};\dfrac{1}{5}} \right)$

   Vậy $M\left( {\dfrac{3}{5};\dfrac{1}{5}} \right)$ thỏa mãn đề.

   Bình luận