Cho đa thức A(x) khác đa thức không, thỏa mãn x.A(x-2)=(x-4).A(x) với mọi x.Chứng minh rằng A(x) có bậc là 2 21/10/2021 Bởi Cora Cho đa thức A(x) khác đa thức không, thỏa mãn x.A(x-2)=(x-4).A(x) với mọi x.Chứng minh rằng A(x) có bậc là 2
$ x.A(x-2)=(x-4).A(x) $ với mọi x (1) Thay x=0, ta có : $0.A(-2)=(-4).A(0)\rightarrow A(0)=0$ Thay x=4, ta có : $4.A(2)=0.A(4)\rightarrow A(2)=0$ Suy ra: $A(x)=x(x-2).P(x)$ Thay vào (1) ta được: $x.(x-2).(x-4).P(x-2)=(x-4).x.(x-2).P(x)$ (2) Vì (2) đúng với mọi x nên $P(x-2)=P(x)$ suy ra P(x) là hằng số Do đó: $A(x)=x(x-2).a$ có bậc là 2 (a là hằng số) Bình luận
$ x.A(x-2)=(x-4).A(x) $ với mọi x (1)
Thay x=0, ta có : $0.A(-2)=(-4).A(0)\rightarrow A(0)=0$
Thay x=4, ta có : $4.A(2)=0.A(4)\rightarrow A(2)=0$
Suy ra: $A(x)=x(x-2).P(x)$
Thay vào (1) ta được: $x.(x-2).(x-4).P(x-2)=(x-4).x.(x-2).P(x)$ (2)
Vì (2) đúng với mọi x nên $P(x-2)=P(x)$ suy ra P(x) là hằng số
Do đó: $A(x)=x(x-2).a$ có bậc là 2 (a là hằng số)