Cho đa thức f(x)=(1-5x+3x^2)^2017 Tính tổng tất cả các hệ số của đa thức f(x) sau khi đã phá ngoặc.
1) Cho đa thức A(x)=|x^2-1|+(x-1)^2020+1
Chứng minh đa thức A(x) không có nghiệm
2) Cho biểu thức P=2020-x/2019-x với x khác 2019
Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức P có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
Đáp án:
$\begin{array}{l}
1)f\left( x \right) = {\left( {1 – 5x + 3{x^2}} \right)^{2017}}\\
= {a_0} + {a_1}.x + {a_2}.{x^2} + … + {a_{4014}}.{x^{4014}}\\
S = {a_0} + {a_1} + {a_2} + … + {a_{4014}}\\
\Rightarrow Thay\,x = 1\,vao\,f\left( x \right)\\
\Rightarrow S = f\left( 1 \right) = {\left( {1 – 5.1 + {{3.1}^2}} \right)^{2017}}\\
\Rightarrow S = {\left( { – 1} \right)^{2017}} = – 1\\
B1)\\
A\left( x \right) = \left| {{x^2} – 1} \right| + {\left( {x – 1} \right)^{2020}} + 1\\
DO:\left\{ \begin{array}{l}
\left| {{x^2} – 1} \right| \ge 0\\
{\left( {x – 1} \right)^{2020}} \ge 0
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left| {{x^2} – 1} \right| + {\left( {x – 1} \right)^{2020}} + 1 \ge 1 > 0
\end{array}$
=> A(x) không có nghiệm.
2)
$\begin{array}{l}
P = \dfrac{{2020 – x}}{{2019 – x}} = \dfrac{{2019 – x + 1}}{{2019 – x}}\\
= 1 + \dfrac{1}{{2019 – x}}\\
{P_{max}} \Rightarrow \dfrac{1}{{2019 – x}}\,max\\
\Rightarrow \dfrac{1}{{2019 – x}} = 1\\
\Rightarrow 2019 – x = 1\\
\Rightarrow x = 2018\left( {tmdk} \right)
\end{array}$
Vậy x=2018 thì P đạt GTLN P=2