Cho đa thức f(x)=ax^2 + bx + c chứng minh nếu f(0); f(1); f(-1); f(1/2) là các số nguyên thì a; b; c đều là số nguyên
Cho đa thức f(x)=ax^2 + bx + c chứng minh nếu f(0); f(1); f(-1); f(1/2) là các số nguyên thì a; b; c đều là số nguyên
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có:
`+)f(0)∈ZZ⇒a.0^2+b.0+c∈ZZ⇒c∈ZZ(1)`
`+)f(1)∈ZZ⇒a+b+c∈ZZ`
`+) f(-1)∈ZZ⇒a-b+c∈ZZ`
`+)f(\frac{1}{2})⇒\frac{a}{4}+\frac{b}{2}+c∈ZZ`
Từ `(1)⇒a+b,a-b,\frac{a}{4}+\frac{b}{2}∈ZZ`
Do đó:
`+)(a+b)+(a-b)∈ZZ⇒2a=x∈ZZ`
`+)(a+b)-(a-b)∈ZZ⇒2b∈ZZ⇒4b=2y∈ZZ`
`+)\frac{a}{4}+\frac{b}{2}⇒frac{a+2b}{4}=\frac{2a+4b}{8}∈Z⇒2a+4b` chẵn
`⇒x+2y` chẵn mà `2y` chẵn`⇒x` chẵn`⇒\frac{x}{2}∈ZZ⇒a∈ZZ(2)`
Lại có `a+b∈ZZ⇒b∈ZZ(3)`
Từ `(1)(2)(3)⇒`đpcm
`f(x)=ax^2+bx+c`
Thay `x=0; x=1; x=-1; x=1/2` vào `f(x)` ta có:
`f(0)=c`
`f(1)=a+b+c` (1)
`f(-1)=a-b+c` (2)
`f(1/2)=1/4a+1/2b+c`
Do `f(0)` là số nguyên `-> c` nguyên (*)
Từ (1)(2)`-> f(1)+f(-1)=2a+2c`
Do `c` nguyên và `f(1);f(-1)` nguyên `->2 a` nguyên
Từ (1)(2)`-> f(1)-f(-1)=2b`
Do `f(1);f(-1)` nguyên `-> 2b` nguyên
Đặt `2a=x; 2b=y` (`x;y ∈Z`)
`-> a=x/2; b=y/2`
Do `f(1/2)` và c nguyên `-> a+2b` nguyên
Thay `a=x/2; b=y/2` vào `f(1/2)` ta có:
` 1/4. x/2+1/2. y/2`
`=1/8x+1/4y`
`=(x+2y)/8`
`-> x+2y` chẵn
Mà `2y` chẵn `-> x chẵn `-> x/2` nguyên `-> a` nguyên (**)
`(1) -> a+b` nguyên
`-> b` nguyên (***)
Theo (*)(**)(***)`-> đpcm`