Cho đa thức `f(x)= ax^2 +bx+c` với `a,b,c` là hằng số. Biết `f(0);f(1);f(-1);f(-1/2)` là các số nguyên. chúng minh rằng `a,b,c` là các số nguyên
Cho đa thức `f(x)= ax^2 +bx+c` với `a,b,c` là hằng số. Biết `f(0);f(1);f(-1);f(-1/2)` là các số nguyên. chúng minh rằng `a,b,c` là các số nguyên
Lời giải:
Ta có:
+ `f(0) = c ∈ ZZ`
+ `f(1) = a + b + c`. Mà `c ∈ ZZ` (cmt) `⇒ a + b ∈ ZZ` `⇒ 2a + 2b ∈ ZZ`
`f(-1) = a – b + c`
Do đó, `f(1) – f(-1) = 2b ∈ ZZ` (*)
`⇒ 2a ∈ ZZ`
+ `f(-1/2) = 1/4a – 1/2b – 1/2 ∈ ZZ`
`⇒ 4f(-1/2) = a – 2b – 2 ∈ ZZ`
Ta có: `4f(-1/2) – f(1) = -a – 2b – 2 – a – b – c = -3b – c ∈ ZZ`
Mà `c ∈ ZZ` (cmt) `⇒ -3b ∈ ZZ` (**)
(*) `+` (**) `⇒ 2b – 3b = -b ∈ ZZ` `⇒ b ∈ ZZ`
+ Do `b ∈ ZZ`, `c ∈ ZZ`, `a + b + c ∈ ZZ` `⇒ a ∈ ZZ`
Ta có đpcm.