Cho đa thức f(x) =ax^3 + 2bx^2+3xc+4d với các hệ số a,b,c,d là các số nguyên . Chứng monh rằng không thể đồng thời tồn tại f(7)=73 và f(3)=58
Cho đa thức f(x) =ax^3 + 2bx^2+3xc+4d với các hệ số a,b,c,d là các số nguyên . Chứng monh rằng không thể đồng thời tồn tại f(7)=73 và f(3)=58
Giả sử đồng thời xảy ra trường hợp f(7)=73 và f(3)=58
Ta có: f(7)=a.7³+2b.7²+3.7.c+4d=343a+98b+21c+4d=73
⇒ 343a+21c=73-4d-98b
Do a,b,c,d∈Z ⇒ Vế phải là 1 số lẻ
⇒ 343a+21c là 1 số lẻ ⇒ Chỉ tồn tại 1 số chẵn
Thật vậy, ngược lại, nếu có 2 số chẵn(hoặc lẻ) thì 343a+21c chẵn, vô lý
Giả sử a chẵn ⇒ c lẻ
Lại có: f(3)=a.3³+2b.3²+3.3.c+4d=27a+18b+9c+4d=58
⇒ 1971a+1314b+657c+292d=4234 (*)
Do a chẵn ⇒ 1971a chẵn
b,d∈Z ⇒ 1314b; 292d chẵn
c lẻ ⇒ 657c lẻ
Từ 3 điều trên ⇒ Vế trái của (*) là số lẻ
Mà 4234 chẵn ⇒ 1971a+1314b+657c+292d=4234 (vô lý)
Vậy điều giả sử ban đầu là sai hay ta có đpcm.
Giải thích các bước giải:
Giả sử tồn tại $f(7)=73, f(3)=58$
$\to \begin{cases}a\cdot 7^3+2b\cdot 7^2+3c\cdot 7+4d=73\\a\cdot 3^3+2b\cdot 3^2+3c\cdot 3+4d=58\end{cases}$
$\to \begin{cases}343a+98b+21c+4d=73\\27a+18b+9c+4d=58\end{cases}$
$\to (343a+98b+21c+4d)-(27a+18b+9c+4d)=73-58$
$\to 343a+98b+21c+4d-27a-18b-9c-4d=15$
$\to (343a-27a)+(98b-18b)+(21c-9c)+(4d-4d)=15$
$\to 316a+80b+12c=15$
Vì $a,b,c,d\in Z\to 316a+80b+12c$ chẵn
Do $15$ lẻ
$\to 316a+80b+12c=15$ vô lý
$\to$Giả sử sai
$\to$Không thể đồng thời tồn tại $f(7)=73,f(3)=58$