cho đa thức f (x ) = ax^3 +bx^2 +cx+d có giá trị nguyên với mọi giá trị nguyên của x. chứng tỏ d ,2b ,6a là các số nguyên

0 bình luận về “cho đa thức f (x ) = ax^3 +bx^2 +cx+d có giá trị nguyên với mọi giá trị nguyên của x. chứng tỏ d ,2b ,6a là các số nguyên”

1. Vì f(x) có giá trị nguyên với với mọi x thuộc Z nên ta có: 

   +) f(0)=a.0³+b.0²+c.0+d    ->   f(0)=d

   => d thuộc Z                                 (1)

   +) f(1)=a.1³+b.1²+c.1²+d=a+b+c+d

   Từ (1) => a+b+c thuộc Z            (2)

   +) f(-1)=a.(-1)³+b.(-1)²+c.(-1)+d=-a+b-c+d

   Từ (1) => -a+b-c thuộc Z            (3)

   Từ (2) và (3) suy ra:

   (a+b+c)+(-a+b-c) = a+b+c-a+b-c

   = (a-a)+(b+b)+(c-c) = 2b

   -> 2b thuộc Z                                (4)

   (a+b+c)-(-a+b-c) = a+b+c+a-b+c

   = (a+a)+(b-b)+(c+c) = 2a+2c

   -> 2a+2c thuộc Z                          (5)

   Ta có:

   f(2)=a.2³+b.2²+c.2+d = 8a+4b+2c+d

   = 6a+4b+2a+2c+d

   Mà: 4b thuộc Z (do 2b thuộc Z; từ (4))

   2a+2c thuộc Z (từ (5)); d thuộc Z (từ (1))

   => 6a thuộc Z                               (6)

   Vậy: từ (1),(4) và (6) suy ra:

   d, 2b, 6a đều là các số nguyên

   Bình luận