cho đa thức F(x)=x³+ax²+bx+c(a,b,c thuộc R).Biết F(x)chia cho x+1 dư -4,chia cho x-2 dư 5. Tính GTBT:A=(a²⁰¹⁹+b²⁰¹⁹)(b²⁰²⁰-c²⁰²⁰)(c²⁰²¹+a²⁰²¹)
cho đa thức F(x)=x³+ax²+bx+c(a,b,c thuộc R).Biết F(x)chia cho x+1 dư -4,chia cho x-2 dư 5. Tính GTBT:A=(a²⁰¹⁹+b²⁰¹⁹)(b²⁰²⁰-c²⁰²⁰)(c²⁰²¹+a²⁰²¹)
Ta có
$F(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$
$= x^3 + x^2 + (a-1)x^2 + (a-1)x + (b – a + 1)x + (b-a + 1) + c – b + a – 1$
$= x^2(x + 1) + (a-1)x(x+1) + (b-a+1)(x+1) + c – b + a – 1$
$= (x+1)[x^2 + x(a-1) + b – a + 1] + c – b + a – 1$
Ta thấy tích đầu chia hết cho $x + 1$, do đó số dư là $c – b + a – 1$. Lại có số dư bằng $-4$ nên ta có
$c – b + a-1 = -4$
$<-> c-b + a = -3$
Mặt khác
$F(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$
$= x^3 – 2x^2 + (a+2)x^2 – (2a + 4)x + (b + 2a + 4)x – (2b + 4a + 8) + c + 2b + 4a + 8$
$= x^2(x-2) + (a+2)x(x-2) + (b + 2a + 4)(x-2) + c + 2b + 4a + 8$
$= (x-2)[x^2 + x(a+2) + b + 2a + 4] + c + 2b + 4a + 8$
Ta thấy tích đầu chia hết cho $x -2$, do đó số dư là $c +2b + 4a + 8$. Lại có số dư bằng $5$ nên ta có
$c + 2b + 4a + 8 = 5$
$<-> c + 2b + 4a = -3$
Suy ra ta có
$c + 2b + 4a = c – b + a$
$<-> 3a = -3b$
$<-> a = -b$
$<-> a + b = 0$
Ta có
$A = (a^{2019} + b^{2019})(b^{2020} – c^{2020})(c^{2021} + a^{2021})$
$= (a+b)(a^{2018} – a^{2017}b + \cdots -a b^{2017} + b^{2018})(b^{2020} – c^{2020})(c^{2021} + a^{2021})$
$= 0 . (a^{2018} – a^{2017}b + \cdots -a b^{2017} + b^{2018})(b^{2020} – c^{2020})(c^{2021} + a^{2021})$
$= 0$
Vậy $A = 0$.
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
F(x)=x3+ax2+bx+cF(x)=x3+ax2+bx+c
=x3+x2+(a−1)x2+(a−1)x+(b−a+1)x+(b−a+1)+c−b+a−1=x3+x2+(a−1)x2+(a−1)x+(b−a+1)x+(b−a+1)+c−b+a−1
=
=(x+1)[x2+x(a−1)+b−a+1]+c−b+a−1=(x+1)[x2+x(a−1)+b−a+1]+c−b+a−1
Ta thấy tích đầu chia hết cho x+1x+1, do đó số dư là c−b+a−1c−b+a−1. Lại có số dư bằng −4−4 nên ta có
c−b+a−1=−4c−b+a−1=−4
<−>c−b+a=−3<−>c−b+a=−3
Mặt khác
F(x)=x3+ax2+bx+cF(x)=x3+ax2+bx+c
=x3−2x2+(a+2)x2−(2a+4)x+(b+2a+4)x−(2b+4a+8)+c+2b+4a+8=x3−2×2+(a+2)x2−(2a+4)x+(b+2a+4)x−(2b+4a+8)+c+2b+4a+8
=x2(x−2)+(a+2)x(x−2)+(b+2a+4)(x−2)+c+2b+4a+8=x2(x−2)+(a+2)x(x−2)+(b+2a+4)(x−2)+c+2b+4a+8
=(x−2)[x2+x(a+2)+b+2a+4]+c+2b+4a+8=(x−2)[x2+x(a+2)+b+2a+4]+c+2b+4a+8
Ta thấy tích đầu chia hết cho x−2x−2, do đó số dư là c+2b+4a+8c+2b+4a+8. Lại có số dư bằng 55 nên ta có
c+2b+4a+8=5c+2b+4a+8=5
<−>c+2b+4a=−3<−>c+2b+4a=−3
Suy ra ta có
c+2b+4a=c−b+ac+2b+4a=c−b+a
<−>3a=−3b<−>3a=−3b
<−>a=−b<−>a=−b
<−>a+b=0<−>a+b=0
Ta có
A=(a2019+b2019)(b2020−c2020)(c2021+a2021)A=(a2019+b2019)(b2020−c2020)(c2021+a2021)
=(a+b)(a2018−a2017b+⋯−ab2017+b2018)(b2020−c2020)(c2021+a2021)=(a+b)(a2018−a2017b+⋯−ab2017+b2018)(b2020−c2020)(c2021+a2021)
=0.(a2018−a2017b+⋯−ab2017+b2018)(b2020−c2020)(c2021+a2021)=0.(a2018−a2017b+⋯−ab2017+b2018)(b2020−c2020)(c2021+a2021)
=0=0
Vậy A=0.