Cho đa thức $f(x)=ax³+bx²+cx+d$ với $a,b,c,d$ là các số nguyên. Biết rằng với mọi giá trị nguyên của $x$ thì giá trị của đa thức đều chia hết cho $5$.

0 bình luận về “Cho đa thức $f(x)=ax³+bx²+cx+d$ với $a,b,c,d$ là các số nguyên. Biết rằng với mọi giá trị nguyên của $x$ thì giá trị của đa thức đều chia hết cho $5$.”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Do $f(x)\vdots5 ∀x$

   Cho $x=0⇒a.0^3+b.0^2+c.0+d\vdots5⇔d\vdots5$

   Cho $x=1⇒a.1^3+b.1^2+c.1+d\vdots5⇔a+b+c\vdots5($ do $d\vdots5)(1)$

   Cho $x=-1⇒a.(-1)^3+b.(-1)^2+c(-1)+d\vdots5⇔-a+b-c\vdots5($ do $d\vdots5)(2)$

   Cho $x=2⇒a.2^3+b.2^2+c.2+d\vdots5⇔8a+4b+2c\vdots5($ do $d\vdots5)$

   $⇔4a+2b+c\vdots5($ (do $(2;5)=1)(3)$

   Từ $(1);(2)⇒(a+b+c)+(-a+b-c)\vdots5$

   $⇒2b\vdots5⇒b\vdots5($ do $(2;5)=1)$

   Từ $(1)⇒a+c\vdots5(4)$

        $(3)⇒4a+c\vdots5(5)$

   Từ $(4);(5)⇒(4a+c)-(a+c)\vdots5$

   $⇒3c\vdots5⇒c\vdots5($ do $(3;5)=1)$

   Từ $(4)⇒a\vdots5$

   Vậy $a;b;c;d\vdots5(đpcm)$

   Bình luận