Cho đa thức f(x) = ax ² + bx + c với a,b,c là các số nguyên và a # 0 thỏa mãn f(3) chia hết 9 , f(4) chia hết 8 . CMR : f(12) chia hết 72
Cho đa thức f(x) = ax ² + bx + c với a,b,c là các số nguyên và a # 0 thỏa mãn f(3) chia hết 9 , f(4) chia hết 8 . CMR : f(12) chia hết 72
By Jasmine
`\qquad f(x)=ax^2+bx+c` `(a;b;c\in ZZ; a\ne 0)`
Vì `f(3)` chia hết cho $9$
`=>(a.3^2+b.3+c)\ \vdots\ 9`
`=>(9a+3b+c)\ \vdots\ 9`
Vì `9a\ \vdots\ 9`
`=>(3b+c)\ \vdots\ 9`
`=>8.(3b+c)\ \vdots\ (8.9)`
`=>(24b+8c)\ \vdots\ 72` $(1)$
$\\$
Vì `f(4)` chia hết cho $8$
`=>(a.4^2+b.4+c)\ \vdots\ 8`
`=>(16a+4b+c)\ \vdots\ 8`
Vì `16a\ \vdots\ 8`
`=>(4b+c)\ \vdots\ 8` (*)
`=>9.(4b+c)\ \vdots\ (9.8)`
`=>(36b+9c)\ \vdots\ 72` $(2)$
$\\$
Từ `(1);(2)=>(36b+9c-24b-8c)\ \vdots\ 72`
`=>(12b+c)\ \vdots\ 72`
$\\$
Ta có:
`f(12)=a.12^2+b.12+c`
`=144a+12b+c`
Vì `144a\ \vdots\ 72` và `(12b+c)\ \vdots\ 72`
`=>f(12)=144a+12b+c \ \vdots\ 72`
Vậy `f(12)` chia hết cho ` 72`
Đáp án:
Mình gửi bạn nhé
Giải thích các bước giải:
Áp dụng tính chất của đa thức:
A(x) chia hết cho M(x)
B(x) chia hết cho N(x)
⇒ A(x) . B(x) chia hết cho M(x). N(x)
Ta có : f(x)=ax² + bx + c
f(3) = 9a + 3b + c chia hết cho 9
Vì 9a luôn chia hết cho 9 nên:
⇒ (3b +c ) chia hết cho 9
⇔ 8. (3b +c ) chia hết cho (8 . 9)
⇔ (24b + 8c) chia hết cho 72 (1)
f(4) = 16a + 4b + c chia hết cho 8
Vì 16a luôn chia hết cho 8 nên
⇒ (4b +c ) chia hết cho 8
⇔ 9. (4b +c ) chia hết cho (8 . 9)
⇔ (36b + 9c) chia hết cho 72 (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
(36b + 9c) – (24b + 8c) chia hết cho 72
⇔ (36b + 9c – 24b – 8c) chia hết cho 72
⇔ ( 12b + c ) chia hết cho 72 (3)
Ta có: f(12) = 144a + 12b + c
Vì 144a luôn chia hết cho 72
Từ (3) ta có 12b + c chia hết cho 72. Nên:
f(12) = 144a + 12b + c chia hết cho 72
Vậy f(12) chia hết cho 72
Chúc bạn học tốt nhé