Cho đa thức f ( x ) = a x mũ 2 + b x + c là các hằng số
Biết f ( 0 ) , f ( 1 ) , f (-1) , f (-1 / 2 ) là các số nguyên . chứng minh a , b , là các số nguyên
Cho đa thức f ( x ) = a x mũ 2 + b x + c là các hằng số Biết f ( 0 ) , f ( 1 ) , f (-1) , f (-1 / 2 ) là các số nguyên . chứng minh a , b , là các
By Julia
Đáp án:
`* f(0) = a . 0² + b . 0 + c = c`
`text{ Mà f(0) nguyên nên c nguyên (1)}`
`* f(1) = a . 1² + b + c = a + b + c`
`text{ Mà f(1) nguyên và c nguyên nên a + b nguyên }`
`* f(-1)= a . (-1)² + b . (-1) + c = a – b + c`
`text{ Mà f(-1) nguyên và c nguyên nên a – b nguyên }`
`* f(-1/2) = a. (-1/2)^2 +b . (-1/2) + c = a/4 + b/2 + c `
`text{ f(1) + f(-1) = (a + b + c) + (a – b + c) = 2a + 2c}`
`text{ Mà f(1) + f(-1) nguyên ⇒ 2a + 2c nguyên}`
`text{ Mà c nguyên ⇒ 2c nguyên}`
`text{ ⇒ 2a nguyên ⇒ a nguyên (2)}`
`f(-1/2) = a . (-1/2)^2 + b . (-1/2) + c = a/4 – b/2 + c`
`text{ Mà f(-1/2 ) là số nguyên và a/4 và c là số nguyên}`
`text{ Suy ra b/2 ⇒ b là số nguyên (3)}`
`text{ Từ (1) , (2) , (3) suy ra a , b , c là số nguyên (đpcm)}`
Ta có :
`f(0) = a . 0^2 + b . 0 +c = 0 + 0 +c =c`
Vì `f(0) -> c` cũng là số nguyên
`f(1) = a . 1^2 + b . 1 +c = a +b +c`
Vì `f(1)` là số nguyên `-> a +b+c` là số nguyên
Mà `c` là số nguyên `-> a +b` là số nguyên
`f(-1) = a . (-1)^2 +b . (-1) +c = a – b +c` là số nguyên
Mà `f(-1)` và `c` là số nguyên `-> a -b` là số nguyên
Ta có :
`f(1) + f(-1) = (a+b+c) + (a-b+c) = 2a + 2c`
Do `f(1)` và `f(-1)` đều là số nguyên `-> f(1) + f(-1)` là số nguyên
`-> 2a +2c` là số nguyên
Vì `c` là số nguyên `-> 2c` là số nguyên
`-> 2a` là số nguyên
`-> a` là số nguyên
`f(-1/2) = a . (-1/2)^2 + b . (-1/2) +c= a/4 – b/2 +c`
Do `a` là số nguyên `-> a/4` là số nguyên
Vì `f(-1/2)` và `a/4` và `c` đều là số nguyên
`-> b/2` là số nguyên
`-> b` là số nguyên
Vậy `a ; b ; c` là các số nguyên .